ответ: i(t)=V*[R*sin(ω*t)-ω*L*cos(ω*t)]/(R²+ω²*L²)+C*e^(-R/L*t).
Пошаговое объяснение:
По второму правилу Кирхгофа, V*sin ω*t=Ur+Ul, где Ur и Ul - падение напряжения на сопротивлении и ЭДС катушки индуктивности. Но Ur=R*i, а Ul=L*di/dt, где i - ток в цепи, t - время. Отсюда следует ДУ:
L*i'+R*i-V*sin ω*t=0, которое по сокращении на L можно записать в виде:
i'+R/L*i-V/L*sin ω*t=0. Обозначив R/L=A и V/L=B, окончательно запишем это уравнение в виде i'+A*i-B*sin ω*t=0. Это - однородное ЛДУ 1-го порядка, которое будем решать подстановкой i=u*v, где u и v - неизвестные пока функции времени t. Отсюда i'=u'*v+u*v' и тогда уравнение принимает вид: u'*v+u*v'+A*u*v-B*sin ω*t=0, или v*(u'+A*u)+u*v'-B*sin ω*t=0. Так как одной из функций u или v мы можем распорядиться по произволу, то поступим так с функцией u и положим, что u'+A*u=0. Отсюда u'=du/dt=-A*u. Решая это ДУ, находим u=e^(-A*t). Подставляя это выражение в уравнение u*v'-B*sin ω*t=0, приходим к уравнению e^(-A*t)*v'=B*sin ω*t. Умножая теперь обе части на e^(A*t), получаем уравнение v'=dv/dt=B*e^(A*t)*sin ω*t, которое по умножении обоих частей на dt принимает вид dv=B*e^(A*t)*sin(ω*t)*dt. Интегрируя, находим v=B*e^(A*t)*[A*sin ω*t-ω*cos ω*t]/(ω²+A²)+C. Отсюда i=u*v=B*[A*sin ω*t-ω*cos ω*t]/(ω²+A²)+C*e^(-A*t). Заменяя теперь A на R/L и B на V/L, окончательно получаем: i(t)=V*[R*sin(ω*t)-ω*L*cos(ω*t)]/(R²+ω²*L²)+C*e^(-R/L*t).
Для составления задачи Коши используем закон коммутации, согласно которому ток через катушку индуктивности не может измениться мгновенно. Допустим, что цепь была разомкнута и замыкается в момент времени t=0. Тогда i(0)=0, и подставляя это условие в выражение для i(t), приходим к уравнению 0=-V*ω*L/(R²+ω²*L²)+C. Отсюда C=V*ω*L/(R²+ω²*L²) и тогда окончательно
i(t)=V*[R*sin(ω*t)-ω*L*cos(ω*t)]/(R²+ω²*L²)+*V*ω*L*e^(-R/L*t)/(R²+ω²*L²).
