1. 3x⁴ + 3x³ – 8x² – 2x + 4 = 0
Попробуем найти корни подбором, проверим все целые x в интервале [–3; 3]. Корнями являются значения x = –2 и x = 1, поэтому многочлен (3x⁴ + 3x³ – 8x² – 2x + 4) делится на (x + 2)(x – 1) = x² + x – 2.
Поделим (3x⁴ + 3x³ – 8x² – 2x + 4) на (x² + x – 2), см. рисунок с делением многочленов столбиком: 3x⁴ + 3x³ – 8x² – 2x + 4 = (x + 2)(x – 1)(3x² – 2). Разложим (3x² – 2) на множители: 3x² – 2 = 3(x² – 2/3) = 3(x – √(2/3))(x + √(2/3)).
Таким образом, исходное уравнение равносильно уравнению 3(x + 2)(x – 1)(x – √(2/3))(x + √(2/3)) = 0, корнями которого являются значения x₁ = –2, x₂ = 1, x₃ = –√(2/3), x₄ = √(2/3).
ответ: x₁ = –2, x₂ = 1, x₃ = –√(2/3), x₄ = √(2/3).
2. Пределы можно найти, воспользовавшись правилом Лопиталя-Бернулли: предел отношения функций, стремящихся одновременно к бесконечности или к нулю, равен пределу отношения их производных.
В первом примере достаточно продифференцировать один раз, потому что после этого числитель и знаменатель перестают стремиться к бесконечности или к нулю:
Во втором примере нужно дифференцировать трижды, так как на всех предыдущих шагах и числитель, и знаменатель все еще стремятся к бесконечности:
3. Снова воспользуемся правилом Лопиталя-Бернулли:
4a. Производная функции:
4b. Уравнение касательной в точке x₀ имеет вид: y = f(x₀) + f'(x₀)(x – x₀).
f(x₀) = f(2) = (2 – 9)(2 + 5) / 2 = –49/2
f'(x₀) = f'(2) = (2² + 45) / 2² = 49/4
f(x₀) + f'(x₀)(x – x₀) = –49/2 + 49/4 · (x – 2) = 49/4 · x – 49
ответ: y = 49/4 · x – 49.
ответ: 1,9
Пошаговое объяснение: а²-ab-2a+2b = a(a-b)-2(a-b) = (a-b)(a-2) = (2.5-(-1.3))(2.5-2) = 3.8*0.5 = 1.9