Question

ДРУЗЬЯ РЕШИТЬ КТО НИБУДЬ ПОСЛЕДНИЙ ПРИМЕР ОСТАЛЬСЯ Я СОВСЕМ НЕ ПОНИМАЮ УМОЛЯЮ

Answer 1

$\int {\frac{1}{\sqrt{5x^2-5} } - 4^x + \frac{7}{cos^2x} } \, dx = \frac{1}{\sqrt{5}} \int {\frac{dx}{\sqrt{x^2-1} } - \int 4^x dx + 7\int \frac{dx}{cos^2x} = \frac{1}{\sqrt{5}} \int {\frac{dx}{\sqrt{x^2-1} } - \frac{4^x}{ln4} + 7*tan(x)$Теперь отдельно с оставшимся интегралом. Решим его методом замены:

$x = sec(t) = dx = sec(t)*tan(t)dt$

Тогда интеграл примет вид:

$\int \frac{sec(t)*tan(t)dt}{\sqrt{sec^2(t-1)}} = \int \frac{sec(t)*tan(t)dt}{\sqrt{tan^2(t))}} = \int \frac{sec(t)*tan(t)dt}{tan(t)}} = \int sec(t)dt = \int \frac{dt}{cos(t)}$

$\int \frac{dt}{cos(t)} = ln(sec(t) + tan(t)) + c$

С учетом замены, получаем, что

$sec(t) = x\\tan(t) = \sqrt{sec^2(t) - 1} = \sqrt{x^2-1}$

Откуда исходный интеграл имеет вид:

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}} = ln(x + \sqrt{x^2-1}) + c$

Тогда ответ можно записать так:

$\frac{1}{\sqrt{5}}*ln(x+\sqrt{x^2-1}) - \frac{4^x}{2ln2} + 7*tan(x) + c$