Question

Знайдіть рівняння горизонтальної дотичної до графіка функції f(x) = (5^x - 65)(5^x + 15)

Answer 1

$f(x) = (5^{x} - 65)(5^{x} + 15)$

Уравнение касательной имеет вид:

$y = f'(x_{0})(x - x_{0}) + f(x_{0})$,

где $x_{0}$ —  абсцисса точки графика функции $f(x_{0})$, к которому проведена касательная $y$.

Так как график касательной имеет вид график прямой линейной функции $y = kx + b$, а по условию она должна быть горизонтальной, значит, это частый случай линейной функции — $y = b$

Таким образом, касательная будет горизонтальной, если $k=f'(x_{0}) = 0$

Найдем $f'(x)$:

$f'(x) = ((5^{x} - 65)(5^{x} + 15))' = (5^{x} - 65)'(5^{x} + 15) + (5^{x} + 15)'(5^{x} - 65) =\\= 5^{x}\ln 5 (5^{x} + 15) + 5\ln 5(5^{x} - 65) = 5^{x}\ln 5(5^{x} + 15 + 5^{x} - 65) =\\= 5^{x}\ln 5(2 \cdot 5^{x} - 50)$

Найдем $f'(x) = 0$:

$5^{x}\ln 5(2 \cdot 5^{x} - 50) = 0$

$\displaystyle \left [ {{5^{x} \ln 5 = 0 \ \ \ \ \ } \atop {2 \cdot 5^{x} - 50 = 0}} \right.$

$\displaystyle \left [ {{5^{x}= 0\ \ } \atop {5^{x} = 25}} \right.$

$\displaystyle \left [ {{x \in \varnothing } \atop {x = 2 }} \right.$

Следовательно, $x_{0} = 2$ — абсцисса точки графика функции $f(x)$, к которому проведена касательная $y$.

Найдем значение $f(x_{0})$:

$f(2) = (5^{2} - 65)(5^{2} + 15) = (25 - 65)(25 + 15) = -40 \cdot 40 = -1600$

Таким образом, $y = -1600$ — уравнение горизонтальной касательной к графику функции $f(x) = (5^{x} - 65)(5^{x} + 15)$

ответ: $y = -1600$