Question

Числа а1 а2 а3... аn an+1 образуют арифметическую прогрессию доказать что
1/a1*a2+1/a2*a3+...+1/an*an+1 = n/a1 * an+1

Answer 1

$a_n=a_1+(n-1)d\\ \dfrac{1}{a_1a_2}+...+\dfrac{1}{a_na_{n+1}}=\dfrac{1}{(a_1+0*d)(a_1+1*d)}+...+\dfrac{1}{(a_1+(n-1)*d)(a_1+n*d)}=\dfrac{1}{d}(\dfrac{1}{(a_1+0*d)}-\dfrac{1}{(a_1+1*d)})+...+\dfrac{1}{d}(\dfrac{1}{(a_1+(n-1)*d)}-\dfrac{1}{(a_1+n*d)})=\dfrac{1}{d}(\dfrac{1}{(a_1+0*d)}-\dfrac{1}{(a_1+n*d)})=\dfrac{nd}{d(a_1+0*d)(a_1+n*d)}=\dfrac{n}{a_1*a_{n+1}}$