Question

Определи объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:
y=2x^2,y=9x.

Answer 1

Для определения объема тела, полученного при вращении фигуры вокруг оси абсцисс, мы будем использовать метод цилиндров.

1. Сначала определим точки пересечения двух кривых:
y = 2x^2 и y = 9x.

Для этого приравняем их друг к другу:
2x^2 = 9x.

2. Перенесем все члены уравнения в одну сторону:
2x^2 - 9x = 0.

3. Факторизуем уравнение:
x(2x - 9) = 0.

Это дает два значения x: x = 0 и x = 4.5.

4. Чтобы найти точки пересечения по y-координатам, подставим значения x в уравнения:
y = 2(0)^2 = 0,
y = 9(4.5) = 40.5.

Теперь у нас есть две точки пересечения: (0, 0) и (4.5, 40.5).

5. Для вычисления объема, возьмем интеграл от y = 0 до y = 40.5 для радиуса цилиндра.

Радиус цилиндра в зависимости от y можно определить как разность функций y = 9x и y = 2x^2:
r = 9x - 2x^2.

6. Теперь, чтобы найти объем, возьмем интеграл от πr^2 по выбранному диапазону y:

V = ∫[0, 40.5] π(9x - 2x^2)^2 dy.

7. Заменив x на y/9 в интеграле и произведя вычисления, получаем окончательный ответ:

V = ∫[0, 40.5] π(9(y/9) - 2(y/9)^2)^2 dy.

V = ∫[0, 40.5] π(y - (y^2)/9)^2 dy.

Уравнение цилиндрического интеграла положительно, поэтому можно опустить π и индекс на [0, 40.5].

8. Подставим значения в интеграл и вычисляем:

V = ∫[0, 40.5] (y^2 - 2y^3/9 + y^4/81) dy.

V = [y^3/3 - y^4/27 + y^5/405] |[0, 40.5].

V = [(40.5)^3/3 - (40.5)^4/27 + (40.5)^5/405] - [(0)^3/3 - (0)^4/27 + (0)^5/405].

9. После выполнения вычислений получаем итоговый ответ:

V ≈ 16461.697 единиц^3.

Таким образом, объем тела, полученного при вращении фигуры вокруг оси абсцисс ограниченной линиями y = 2x^2 и y = 9x, составляет примерно 16461.697 единиц^3.