Рассмотрим сначала вариант наиболее ожидаемого решения, математического. Во-первых, представьте ситуацию, когда часовая и минутная стрелки наложились. Все знают, что это происходит в полночь, затем приблизительно в 1:05, 2:10, 3:15 и так далее. Другими словами, они накладываются друг на друга каждый час, за исключением периода от 11:00 до 12:00. В 11:00 более быстрая минутная стрелка находится на 12, а более медленная часовая — на 11:00. До 12:00 дня они друг с другом не встретятся, и поэтому их наложения в районе 11 часов не будет.
Таким образом, за каждый 12-часовой период происходит 11 наложений. Они равномерно распределены во времени, поскольку обе стрелки двигаются с постоянной скоростью. Это означает, что интервалы между наложениями составляют 12/11 часа. Это эквивалентно 1 часу 5 минутам 27 и 3/11 секундам. Поэтому за каждый 12-часовой цикл наложения происходят в периоды, указанные на картинке.
Если я верно понимаю, что интервал (100; 20000) включает в себя все числа между 100 и 20000, но исключая концы, то:
ответ: 19891.
(НОК(a, b) = [a, b] (в моём случае - [a; b]))
Пусть в требуемом виде нужно представить число i = 2^t * (2p + 1):
а) p > 0. Тогда возьмём следующие числа: k = p * 2^t; n = m = 2^t.
[p * 2^t ; 2^t] + [p * 2^t ; 2^t] + [2^t ; 2^t] = p * 2^t + p * 2^t + 2^t = 2^t * (2p + 1)
Значит, при p > 0 представление существует.
б) p = 0. Докажем, что в таком случае решения не существует. Пусть k = 2^a * k' ; m = 2^b * m' ; n = 2^c * n'. Тогда k', m', n' не могут иметь общих множителей (иначе бы этот множитель присутствовал во всех трёх слагаемых, но отсутствовал бы в правой части (этот множитель - не 2, так как иначе увеличим показатели степеней)). Пусть a ≥ b ≥ c (иначе переобозначим), тогда:
[2^a * k' ; 2^b * m'] + [2^b * m' ; 2^c * n'] + [2^c * n'; 2^a * k'] = 2^t
2^a * k' * m' + 2^a * n' * k' + 2^b * m' * n' = 2^t
2^b * (2^(a-b) * k' * m' + 2^(a-b) * k' * n' + m' * n') = 2^t
2^(a-b) * k' * m' + 2^(a-b) * k' * n' + m' * n' = 2^(t - b)
Далее возможны две ситуации:
1) a = b, тогда слева три нечётных числа, а справа либо чётное число, либо 1.
2) a > b, тогда слева два чётных числа и одно нечётное, а справа либо чётное число, либо 1.
Значит, при p = 0 решений нет.
Осталось заметить, что в промежутке от 100 до 20000 всего 8 степеней двойки.