Что мы будем использовать: последовательность 
монотонно возрастает и имеет конечный предел; этот предел обозначается буквой e. Первые цифры числа e все знают. Для нас достаточно знать, что
1) 
При n=1 неравенство очевидно. Предположим, что оно справедливо при некотором n, и докажем, что тогда оно справедливо при n+1. Итак, нужно доказать, что 
Имеем:
2) 
При n=1 неравенство очевидно. Предположив, что при некотором n неравенство справедливо, докажем, что 
Имеем:
Доказательство завершено благодаря тому, что все натуральные числа расположены "по порядку" одно за другим, и есть первое натуральное число (принцип домино: если доминошки расположить на боку одну рядом с другой на небольшом расстоянии друг от друга в виде змеи, и уронить первую доминошку на вторую, то вторая упадет на третью, третья на четвертую и так далее, пока не упадут все).
В орудному відмінку однини іменники другої відміни мають закінчення –ом, -ем, -єм і -ям, -ям.
1. Закінчення -ом мають усі іменники чол. та середн. роду твердої групи, -ем (після голосного та апострофа — -єм) — іменники чол. та середн., роду мішаної та м’якої груп (крім іменників середи, роду, що закінчуються на -я): ма́йстром, мі́стом, робітнико́м, село́м; бійце́м, кобзаре́м, коне́м, тату́нем, куще́м, мі́сцем, мо́рем, ноже́м, плече́м, прі́звищем, секретаре́м, слухаче́м; пиріє́м, роє́м, солов’є́м, урожа́єм.
2. Закінчення -ям мають усі іменники середн., роду на -я: життя́м, змага́нням, знання́м, знаря́ддям, кі́ллям, ли́стям, лу́б’ям, обли́ччям, підда́шшям, роздорі́жжям, ща́стям.
3. Закінчення -им мають в орудному відмінку:
а) іменники — прізвища чол. роду твердої групи на -ов, -ев, -єв, -ів, -їв, -ин, -ін, -їн: Виногра́довим, Зве́гінцевим, Ільїни́м, Ковале́вим (від Ковалі́в), Ле́синим. Однак неслов’янські прізвища, які закінчуються на -ов, -ин, -ін, мають в орудному відмінку однини закінчення -ом: Брюло́вом, Да́рвіном, Ча́пліном.
Примітка. Українські прізвища на -ин (-анин, -янин), які за походженням є назвами осіб за етнічною належністю або місцем проживання, в орудному відмінку однини вживаються із закінченням -ом: Воло́шином, Ру́сином, Турчи́ном і т . ин.;
б) іменники — географічні назви середи, роду із суфіксами присвійності -ов-, -ев- (-єв-), -ин-, що відмінюються як прикметники: Горо́шине — Горо́шиним, Деба́льцеве — Деба́льцевим, Котеле́ве — Котеле́вим, Єна́кієве — Єна́кієвим, Михалко́ве — Михалко́вим.
Але іменники — географічні назви чол. та середи. роду із суфіксами -ів, -їв, -ин, що не відмінюються як прикметники, мають в орудному відмінку однини закінчення -ом: Ки́євом, Козя́тином, Лебедино́м, Пиря́тином, Свято́шином, Ха́рковом, Яготино́м.