Соня написала на каждой стороне квадрата по одному натуральному числу. Затем в каждой вершине она написал произведение чисел на сторонах сходящихся в одной вершине. Сумма чисел в вершинах равна 15 Чему равна сумма чисел на сторонах?
(А)5
(Б)7
(В)8
(Г)10
(Д)12
Так как сумма чисел в вершинах есть нечетное число, то как минимум одно число в вершине - нечетное. Получить нечетное число можно лишь перемножая нечетные числа.
Пусть в вершине В нечетное число, тогда на сторонах АВ и ВС нечетные числа.
Чтобы общая сумма чисел в вершинах была нечетной, необходимо оставшиеся три числа взять четными или одно взять четным, а два других нечетными. Но если предположить, что еще хотя бы одно число в вершине нечетное, то по цепочке получим и на следующей стороне нечетное число и после следующего предположения, что в следующей вершине нечетное число (ведь нам нужно два нечетных числа в сумму), на последней стороне получим тоже нечетное число, что будет означать, что и в последней вершине нечетное число. Тогда сумма чисел в вершинах будет четная. Противоречие.
Значит, среди чисел в вершинах только одно нечетное.
По этой расстановке однозначно расставляются числа на сторонах: на двух смежных сторонах - нечетные числа, на двух других смежных сторонах - четные числа.
Проверим наименьший вариант: 1, 1, 2, 2:
1·1+1·2+2·2+2·1=1+2+4+2=9
Возьмем вместо одного из чисел следующее за ним по четности, например вместо 1 возьмем 3:
3·1+1·2+2·2+2·3=3+2+4+6=15
сумма чисел на сторонах 3+1+2+2=8
Можно было взять, например, 4 вместо 2:
1·1+1·2+2·4+4·1=1+2+8+4=15
По-прежнему, сумма чисел на сторонах 1+1+2+4=8
Если числа продолжить как-либо увеличивать, то слагаемые в произведении увеличатся, а соответственно и произведение увеличится и не будет равно 15.
ответ: 8