Question

Найти общее решение дифференциального уравнения.
2y' - x/y = xy/((x^2)-1)

Answer 1

$2y'-\frac{x}{y}=\frac{xy}{x^2-1}\\\\y'-\frac{x}{2(x^2-1)}\cdot y=\frac{x}{2y}\\\\y=uv\; ,\; \; y'=u'v+uv'\\\\u'v+uv'-\frac{x}{2(x^2-1)}\cdot uv=\frac{x}{2uv}\\\\u'v+u\cdot (v'-\frac{x}{2(x^2-1)}\cdot v)=\frac{x}{2uv}\\\\\\a)\; \; v'-\frac{x}{2(x^2-1)}\cdot v=0\; ,\; \; \int \frac{dv}{v}=\int \frac{x\, dx}{2(x^2-1)}\; \; ,\; \; ln|v|=\frac{1}{4}\, ln|x^2-1|\; ,\\\\v=\sqrt[4]{x^2-1}$

$b)\; \; u'\cdot \sqrt[4]{x^2-1}=\frac{x}{2u\cdot \sqrt[4]{x^2-1}}\; \; ,\; \; \int u\, du=\int \frac{x\, dx}{2\sqrt{x^2-1}}\; \; ,\\\\\frac{u^2}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{x^2-1}+C^*\; \; ,\; \; u^2=\sqrt{x^2-1}+2C^*\; \; ,\\\\u=\pm \sqrt{C+\sqrt{x^2-1}}\; \; ,\; \; C=2C^*\\\\\\c)\; \; y=\pm \sqrt[4]{x^2-1}\cdot \sqrt{C+\sqrt{x^2-1}}\\\\y=\pm \sqrt[4]{(x^2-1)\cdot (C+\sqrt{x^2-1})^2}$