Question

В треугольнике ABC дано: A B = 13 , 32 ⋅ √ 2 , ∠ B = 30 градусов , ∠ C = 45 градусов. Найдите сторону AC

Answer 1

Чтобы найти сторону AC треугольника ABC, нам понадобятся две формулы тригонометрии: теорема синусов и теорема косинусов.

1. Рассмотрим теорему синусов, которая гласит:

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C),

где a, b и c - стороны треугольника, A, B и C - противолежащие им углы.
Применим эту теорему к треугольнику ABC, чтобы найти сторону AC.

Заметим, что углы B и C противолежат стороне AC, а сторона AB соответствует углу C.

Таким образом, имеем:

AB/sin(C) = AC/sin(B).

Подставим известные значения:

13/(√2) = AC/sin(30).

Найдем sin(30) с помощью таблицы значений тригонометрических функций.

Sin(30) = 1/2.

Теперь получаем уравнение:

13/(√2) = AC/(1/2).

Приведем к общему знаменателю:

13/(√2) = 2AC.

Умножаем оба выражения на (√2):

13 = 2AC(√2).

Теперь делим оба выражения на 2(√2):

AC = 13/(2√2).

2. Другой способ найти сторону AC - использовать теорему косинусов, которая гласит:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C),

где c - сторона, противолежащая углу C, a и b - остальные две стороны.

Применим эту теорему к треугольнику ABC, чтобы найти сторону AC.

Заметим, что сторона AB противолежит углу C, сторона BC противолежит углу A, сторона AC противолежит углу B.

Таким образом, имеем:

AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB*BC*cos(B).

Подставим известные значения:

AC^2 = (13)^2 + (32⋅√2)^2 - 2(13)(32⋅√2)*cos(30).

Упростим выражение перед вычислением:

AC^2 = 169 + 32^2 * 2 - 2 * 13 * 32 * √3/2.

Упростим дальше:

AC^2 = 169 + 1024*2 - 416*√3.

AC^2 = 169 + 2048 - 416*√3.

AC^2 = 2217 - 416*√3.

Извлечем квадратный корень и получим:

AC = √(2217 - 416*√3).

Для окончательного ответа можно приближенно выразить сторону AC численно или в виде корня.