1. По кругу сидят рыцари, которые всегда говорят правду и лжецы, которые всегда лгут
– всего 2020 человек. Каждый из них знает всех, за исключением своих ближайших
соседей. Все люди по очереди сказали: «Всех, кого я знаю, лжецы». Сколько рыцарей
может сидеть за столом?
2. Две тысячи двадцать парламентариев сидят в прямоугольном зале в 40 рядах по 55
кресла в каждом. Парламентарий считает себя низкооплачиваемым, если получает
зарплату, меньшую, чем все его соседи (спереди, сзади, справа, слева и по
диагоналям) Какое наибольшее число низкооплачиваемых парламентариев может
быть в этом зале?
3. Обозначим через П(n) произведение цифр натурального числа n. В ряд выписали
числа П(2020), П(2021), П(2022)….. Какое наибольшее число подряд идущих членов
получившейся последовательности могут оказаться последовательными
натуральными числами?
4. Незнайка утверждает, что в компании, состоящей из а) 2019; б)2020 человек, по
крайней мере двое имеют одинаковое число знакомых среди членов этой компании.
Прав ли Незнайка?
5. Среди 16 внешне одинаковых монет есть ровно одна фальшивая, которая весит
меньше настоящих. За какое наименьшее количество взвешиваний на чашечных весах
без гирь можно определить фальшивую монету? (Весы не имеют делений, а только
показывают равенство чаш или какая чаша перевесила.)
6. На листе бумаги нарисован правильный треугольник со стороной,
равной n. После этого рисунок разбит на единичные треугольники,
как показано на рисунке для n=3. Сколько различных треугольников
вы сможете найти на этом рисунке? Треугольники считаются
различными, если они различаются либо по размерам, либо по расположению.
а) Решите эту задачу для n=3, 4, 5.
б) Выведите формулу для определения числа треугольников в зависимости от
величины n.
Рассмотрим первое уравнение:
х² + у² = 5
х² + 2ху + у² = 5 + 2ху
(х + у)² = 5 + 2ху
Из второго уравнения
х + у = 5 - ху
Тогда получаем, что
(5 - ху)² = 5 + 2ху
Пусть ху = с
Тогда
(5 - с)² = 5 + 2с
25 - 10с + с² = 5 + 2с
с² - 12с + 20 = 0
D = 144 - 80 = 64
с = (12 ± 8) / 2
с = 10 или с = 2
1. Пусть с = 10.
Тогда
х + у = -5, или у = -5 - х
х² + у² = 5, или х² + 25 + 10х + х² = 5, тогда
х² + 5х + 10 = 0
D = 25 - 40 < 0, значит уравнение не имеет решений.
2. Пусть с = 2.
Тогда
х + у = 3, или у = 3 - х
х² + у² = 5, или х² + 9 - 6х + х² = 5, тогда
х² - 3х + 2 = 0
D = 9 - 8 = 1
x = (3 ± 1) / 2,
x = 2 или х = 1
Тогда, если х = 2, то у = 1, если х = 1, то у = 2.