Question

Найти частные решения дифференциального уравнения у''-6у'+9у=0 если у=1, у'=1 при х=0

Answer 1

Хорошо, давайте решим это дифференциальное уравнение шаг за шагом.

Дано:
y'' - 6y' + 9y = 0
y(0) = 1
y'(0) = 1

1. Первый шаг - найдем характеристическое уравнение, связанное с данным дифференциальным уравнением. Для этого заменим y'' на r^2, y' на r и y на 1:

r^2 - 6r + 9 = 0

2. Решим характеристическое уравнение. Для этого факторизуем его или воспользуемся квадратным корнем:

(r - 3)^2 = 0

Отсюда получаем, что r = 3 - это двукратный корень.

3. Так как у нас есть двукратный корень, то общим решением будет:

y(x) = C₁ * e^(3x) + C₂ * x * e^(3x),

где C₁ и C₂ - произвольные постоянные.

4. Теперь найдем значения постоянных C₁ и C₂, используя начальные условия y(0) = 1 и y'(0) = 1.

Подставим x = 0 в общую формулу решения:

y(0) = C₁ * e^(3*0) + C₂ * 0 * e^(3*0)
1 = C₁

Теперь продифференцируем общее решение и подставим x = 0:

y'(x) = 3C₁ * e^(3x) + C₂ * e^(3x) + 3C₂ * x * e^(3x)

y'(0) = 3C₁ * e^(3*0) + C₂ * e^(3*0) + 3C₂ * 0 * e^(3*0)
1 = 3C₁ + C₂

Таким образом, мы получили систему уравнений:
C₁ = 1,
3C₁ + C₂ = 1.

5. Решим эту систему уравнений. Подставим значение C₁ = 1 во второе уравнение:

3(1) + C₂ = 1
3 + C₂ = 1
C₂ = -2

Таким образом, имеем C₁ = 1 и C₂ = -2.

6. Подставим значения констант в общую формулу решения:
y(x) = 1 * e^(3x) - 2 * x * e^(3x)

Получили частное решение дифференциального уравнения:
y(x) = e^(3x) - 2x * e^(3x)

Таким образом, решением данного дифференциального уравнения при y(0) = 1 и y'(0) = 1 является функция y(x) = e^(3x) - 2x * e^(3x).