Question

Задача с параметром. Найти все a, при которых множества решений уравнений
(a²+a-6)x=2a²-3a-2 и (3a²-a-10)x=3a²-4a-4 совпадают.
Хотелось бы увидеть решение в полном формате

Answer 1

Для начала рассмотрим первое уравнение:

(a²+a-6)x = 2a²-3a-2

Раскроем скобки в левой части уравнения:

a²x + ax - 6x = 2a² - 3a - 2

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях a:

a²x = 2a²
ax = -3a
-6x = -2

Решим каждое из этих уравнений по отдельности:

a²x = 2a²

Если а ≠ 0, то делим обе части уравнения на a²:

x = 2

Таким образом, при a ≠ 0, множество решений первого уравнения - это множество всех пар (a, x), где a - любое число, кроме 0, и x = 2.

ax = -3a

Если a ≠ 0, то делим обе части уравнения на a:

x = -3

Таким образом, при a ≠ 0, множество решений второго уравнения - это множество всех пар (a, x), где a - любое число, кроме 0, и x = -3.

Теперь, чтобы множества решений обоих уравнений совпадали, нужно чтобы множество решений первого уравнения также включало множество решений второго уравнения, т.е. (a, x) = (a, -3) для всех a ≠ 0.

Таким образом, множество решений обоих уравнений совпадает при любом a ≠ 0 и x = -3.

Однако мы также должны учитывать случай, когда a = 0. Подставим a = 0 в оба уравнения:

(a²+a-6)x = 2a²-3a-2
(3a²-a-10)x = 3a²-4a-4

Становится очевидным, что оба уравнения не имеют решений при a = 0, так как при таком значении a обе части каждого уравнения равны 0.

Таким образом, множество решений для обоих уравнений совпадает при любом a ≠ 0 и x = -3.