Question

Решить систему уравнений
dx/dt=t/y
dy/dt=-t/x

Answer 1

Чтобы решить данную систему уравнений

dx/dt = t/y -- (1)
dy/dt = -t/x -- (2)

сначала мы можем попробовать избавиться от t.

Для этого умножим первое уравнение (1) на x и второе уравнение (2) на y:

x * dx/dt = tx/y -- (3)
y * dy/dt = -ty/x -- (4)

Теперь у нас есть две уравнения (3) и (4), которые содержат только x, y и их производные.

Давайте возьмем частные производные обоих уравнений по t:

d(x * dx/dt)/dt = d(tx/y)/dt -- (5)
d(y * dy/dt)/dt = d(-ty/x)/dt -- (6)

Для удобства расчетов воспользуемся правилом умножения производной произведения функций:

d(x * dx/dt)/dt = dx/dt * dx/dt + x * d(dx/dt)/dt = (dx/dt)^2 + x * d(dx/dt)/dt
d(y * dy/dt)/dt = dy/dt * dy/dt + y * d(dy/dt)/dt = (dy/dt)^2 + y * d(dy/dt)/dt

Теперь заменим dx/dt и dy/dt из исходных уравнений (1) и (2):

(1)^2 + x * d(1)/dt = (1/y)^2 + x * d(1/y)/dt -- (7)
(2)^2 + y * d(2)/dt = (-t/x)^2 + y * d(-t/x)/dt -- (8)

Упростим уравнения (1)^2 и (2)^2:

1 + x * d(1)/dt = 1/y^2 + x * d(1/y)/dt -- (9)
1 + y * d(2)/dt = t^2/x^2 + y * d(-t/x)/dt -- (10)

Теперь проанализируем d(1)/dt и d(2)/dt. Обратимся к исходным уравнениям (1) и (2):

dx/dt = t/y -- (1)
dy/dt = -t/x -- (2)

Продифференцируем оба этих уравнения по t:

d(dx/dt)/dt = d(t/y)/dt -- (11)
d(dy/dt)/dt = d(-t/x)/dt -- (12)

Разделим (11) на dt и (12) на dt:

d^2x/dt^2 = d(t/y)/dt / dt -- (13)
d^2y/dt^2 = d(-t/x)/dt / dt -- (14)

Применим правило дифференцирования:

d^2x/dt^2 = (1/y) * d(t)/dt - t * d(1/y)/dt -- (15)
d^2y/dt^2 = (-1/x) * d(t)/dt - t * d(1/x)/dt -- (16)

Теперь заменим d(1)/dt и d(2)/dt в уравнениях (9) и (10) используя уравнения (15) и (16):

1 + x * ((1/y) * d(t)/dt - t * d(1/y)/dt) = 1/y^2 + x * d(1/y)/dt -- (9')
1 + y * ((-1/x) * d(t)/dt - t * d(1/x)/dt) = t^2/x^2 + y * d(-t/x)/dt -- (10')

С учетом всех замен, уравнения (7), (9'), (8) и (10') примут вид:

1 + x * ((1/y) * d(t)/dt - t * d(1/y)/dt) = 1/y^2 + x * d(1/y)/dt -- (7')
1 + x * ((1/y) * d(t)/dt - t * d(1/y)/dt) = 1/y^2 + x * d(1/y)/dt -- (9')
1 + y * ((-1/x) * d(t)/dt - t * d(1/x)/dt) = t^2/x^2 + y * d(-t/x)/dt -- (8')
1 + y * ((-1/x) * d(t)/dt - t * d(1/x)/dt) = t^2/x^2 + y * d(-t/x)/dt -- (10')


Следующим шагом можно решить полученную систему уравнений методом, например, подстановки или методом Крамера.