Question

Проинтегрировать дифференциальное уравнение.

Answer 1

Это линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Для этого уравнения всегда осуществляется замена $y=ux$, тогда $y'=u'x+u$, получаем :

$u'x+u=u^2+4u+2\\ \\ u'x=u^2+3u+2$

Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

$\displaystyle \int \dfrac{du}{u^2+3u+2}=\int \dfrac{dx}{x}~~~\Rightarrow~~~\int \dfrac{du}{(u+1)(u+2)}=\int \dfrac{dx}{x}\\ \\ \\ \int \dfrac{(u+2)-(u+1)}{(u+1)(u+2)}du=\int \dfrac{dx}{x}~~\Rightarrow~~ \int \left(\dfrac{1}{u+1}-\dfrac{1}{u+2}\right)du=\int \dfrac{dx}{x}\\ \\ \\ \ln |u+1|-\ln |u+2|=\ln |x|+\ln C\\ \\ \ln \Bigg|\dfrac{u+1}{u+2}\Bigg|=\ln \Big|Cx\Big|\\ \\ \\ \dfrac{u+1}{u+2}=Cx~~~\Rightarrow~~~ 1+\dfrac{1}{u+2}=Cx~~~\Rightarrow~~~\dfrac{1}{u+2}=Cx-1$

$u+2=\dfrac{1}{Cx-1}\\ \\ u=\dfrac{1}{Cx-1}-2$

Выполним обратную замену

$\dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{Cx-1}-2~~~\Rightarrow~~~ \boxed{y=\dfrac{x}{Cx-1}-2x}$

Получили общее решение диф. уравнения.

Answer 2

$x=\frac{C(y+x)}{y+2x}$

Пошаговое объяснение:

$\frac{y}{x} =t\\y=tx\\y'=t'x+t$

$t'x+t=t^2+4t+2\\\\ t'x=t^2+3t+2\\\\t'=\frac{t^2+3t+2}{x} \\\\\frac{dt}{dx} =\frac{t^2+3t+2}{x}\\\\\frac{dx}{x} =\frac{dt}{t^2+3t+2}\\\\lnx=-ln|t+2|+ln|t+1|+lnC\\\\lnx=ln{\frac{C(t+1)}{t+2} }\\\\x=\frac{C(t+1)}{t+2}\\\\x=\frac{C(\frac{y}{x} +1)}{\frac{y}{x}+2}=\frac{C(y+x)}{y+2x}$