Сфера задана уравнением x2+y2+z2+2y-4z=4 А) найдите координаты и радиус сферы Б) найдите значение m, при котором точки А(0;m;2) и B(1;1;m-2) принадлежат данной сфере
А) Чтобы найти координаты и радиус сферы, мы должны привести уравнение сферы к стандартной форме (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = r2, где (a, b, c) - координаты центра сферы, а r - радиус.
Для этого нам нужно перегруппировать исходное уравнение и выразить все переменные:
x2 + y2 + z2 + 2y - 4z = 4
Перенесем все в одну часть уравнения:
x2 + y2 + z2 + 2y - 4z - 4 = 0
Заметим, что коэффициент при x2, y2 и z2 равен 1, поэтому это уже похоже на стандартную форму. Нам необходимо дополнить квадраты, чтобы свести уравнение к стандартному виду:
Теперь мы можем применить формулы квадратных полиномов:
(x + 0)2 + (y + 1)2 + (z - 2)2 - 6 = 0
(x + 0)2 + (y + 1)2 + (z - 2)2 = 6
Теперь у нас есть уравнение в стандартной форме. Мы можем сравнить его с общим уравнением сферы и сделать следующие выводы:
Центр сферы: (0, -1, 2)
Радиус сферы: √6
Б) Чтобы найти значение m, при котором точки А(0, m, 2) и B(1, 1, m-2) принадлежат данной сфере, мы должны подставить координаты этих точек в уравнение сферы и решить полученное уравнение.
Подставим координаты точки А(0, m, 2) в уравнение сферы:
(0)2 + (m)2 + (2)2 + 2(m) - 4(2) = 4
m2 + 4m - 8 = 4
Перенесем все в одну часть уравнения:
m2 + 4m - 12 = 0
Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Для этого можно воспользоваться методом факторизации или квадратным трехчленом. Я воспользуюсь последним методом.
Перемножим первый и последний коэффициенты:
m2 - 6m + 2m - 12 = 0
Теперь разложим средний член на два числа, сумма которых равна -6, но произведение -12:
m(m - 6) + 2(m - 6) = 0
(m + 2)(m - 6) = 0
Из этого уравнения мы получаем два решения:
m + 2 = 0 или m - 6 = 0
m = -2 или m = 6
Таким образом, при значениях m = -2 и m = 6 точки А(0, -2, 2) и B(1, 1, 4) принадлежат данной сфере.
А) Чтобы найти координаты и радиус сферы, мы должны привести уравнение сферы к стандартной форме (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = r2, где (a, b, c) - координаты центра сферы, а r - радиус.
Для этого нам нужно перегруппировать исходное уравнение и выразить все переменные:
x2 + y2 + z2 + 2y - 4z = 4
Перенесем все в одну часть уравнения:
x2 + y2 + z2 + 2y - 4z - 4 = 0
Заметим, что коэффициент при x2, y2 и z2 равен 1, поэтому это уже похоже на стандартную форму. Нам необходимо дополнить квадраты, чтобы свести уравнение к стандартному виду:
(x2 + 0*x + 0) + (y2 + 2y + 1) + (z2 - 4z + 4) - 1 - 1 - 4 = 0
Теперь мы можем применить формулы квадратных полиномов:
(x + 0)2 + (y + 1)2 + (z - 2)2 - 6 = 0
(x + 0)2 + (y + 1)2 + (z - 2)2 = 6
Теперь у нас есть уравнение в стандартной форме. Мы можем сравнить его с общим уравнением сферы и сделать следующие выводы:
Центр сферы: (0, -1, 2)
Радиус сферы: √6
Б) Чтобы найти значение m, при котором точки А(0, m, 2) и B(1, 1, m-2) принадлежат данной сфере, мы должны подставить координаты этих точек в уравнение сферы и решить полученное уравнение.
Подставим координаты точки А(0, m, 2) в уравнение сферы:
(0)2 + (m)2 + (2)2 + 2(m) - 4(2) = 4
m2 + 4m - 8 = 4
Перенесем все в одну часть уравнения:
m2 + 4m - 12 = 0
Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Для этого можно воспользоваться методом факторизации или квадратным трехчленом. Я воспользуюсь последним методом.
Перемножим первый и последний коэффициенты:
m2 - 6m + 2m - 12 = 0
Теперь разложим средний член на два числа, сумма которых равна -6, но произведение -12:
m(m - 6) + 2(m - 6) = 0
(m + 2)(m - 6) = 0
Из этого уравнения мы получаем два решения:
m + 2 = 0 или m - 6 = 0
m = -2 или m = 6
Таким образом, при значениях m = -2 и m = 6 точки А(0, -2, 2) и B(1, 1, 4) принадлежат данной сфере.