Question

Вычисли наименьшее и наибольшее значения функции y=x*3+3x*2−45x−1 на отрезке [−8;8].

Answer 1

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на отрезке [−8;8], будем использовать метод экстремумов исследования функции.

1. Найдем производную функции y по переменной x:
y'(x) = 3x^2 + 6x - 45

2. Найдем точки, где производная равна нулю:
3x^2 + 6x - 45 = 0

Для решения этого уравнения мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:
D = b^2 - 4ac

где a = 3, b = 6 и c = -45.

D = 6^2 - 4 * 3 * (-45) = 36 + 540 = 576

Так как дискриминант D больше нуля, то уравнение имеет два различных решения.

x_1 = (-6 + √D) / (2a) = (-6 + √576) / 6 = (-6 + 24) / 6 = 18 / 6 = 3
x_2 = (-6 - √D) / (2a) = (-6 - √576) / 6 = (-6 - 24) / 6 = -30 / 6 = -5

Таким образом, y'(x) равняется нулю при x = 3 и x = -5.

3. Проведем исследование функции используя найденные точки.

a) Когда x < -5:
Подставим x = -8 в исходную функцию:
y(-8) = (-8)^3 + 3(-8)^2 - 45(-8) - 1
= -512 + 192 -(-360) - 1
= -512 + 192 + 360 - 1
= 39
Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [-8;8] равно 39 при x = -8.

b) Когда -5 < x < 3:
Сравним значения функции при x = -5 и x = 3.
y(-5) = (-5)^3 + 3(-5)^2 - 45(-5) - 1
= -125 + 75 + 225 - 1
= 174
y(3) = (3)^3 + 3(3)^2 - 45(3) - 1
= 27 + 27 - 135 - 1
= -82
Значение функции при x = -5 больше, чем при x = 3, поэтому наибольшее значение функции на отрезке [-8;8] равно 174 при x = -5.

c) Когда x > 3:
Подставим x = 8 в исходную функцию:
y(8) = (8)^3 + 3(8)^2 - 45(8) - 1
= 512 + 192 - 360 - 1
= 343
Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [-8;8] равно 343 при x = 8.

Итак, наименьшее и наибольшее значения функции y=x^3+3x^2−45x−1 на отрезке [-8;8] равны соответственно 343 и 174.