Определи сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 190, которые при делении на 4 дают остаток 1.
ответ:
1. искомое натуральное число имеет вид (запиши числа):
⋅k+
2. Сколько имеется таких натуральных чисел, которые не превосходят 190:
3. Запиши сумму заданных чисел:
Sn=
Мы ищем сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 190, которые при делении на 4 дают остаток 1. Для начала вспомним, что остаток от деления числа на 4 может быть 0, 1, 2 или 3. В этой задаче нас интересует только остаток 1.
1. Рассмотрим вид искомых натуральных чисел. По определению, они имеют вид k * 4 + 1, где k - любое натуральное число. Поэтому можно записать, что искомое число имеет вид (4k + 1).
2. Теперь нам нужно определить, сколько таких натуральных чисел (4k + 1) не превосходят 190. Для этого мы подставим максимальное значение k и найдем максимальное возможное искомое число, которое будет меньше или равно 190. Подставим это значение в (4k + 1) и найдем соответствующее значение k:
190 = 4k + 1
4k = 190 - 1
4k = 189
k = 189 / 4
k = 47 (остаток 1)
Таким образом, максимальное значение k равно 47. Значит, у нас будет 47 таких натуральных чисел, которые не превосходят 190 и дают остаток 1 при делении на 4.
3. Теперь осталось записать сумму всех этих чисел. Для этого мы сложим все числа вида (4k + 1), где k принимает значения от 1 до 47:
S = (4 * 1 + 1) + (4 * 2 + 1) + ... + (4 * 47 + 1)
У нас есть 47 слагаемых. Выполним раскрытие скобок и сгруппируем слагаемые по степеням 4:
S = (4 * 1 + 4 * 2 + ... + 4 * 47) + (1 + 1 + ... + 1)
S = 4 * (1 + 2 + ... + 47) + 47
Так как нам нужно найти сумму всех натуральных чисел до 47, воспользуемся формулой суммы первых n натуральных чисел:
S = 4 * (n * (n + 1) / 2) + n
Подставим n = 47:
S = 4 * (47 * (47 + 1) / 2) + 47
S = 4 * (47 * 48 / 2) + 47
S = 4 * (2256) + 47
S = 9024 + 47
S = 9071
Таким образом, сумма всех натуральных чисел, не превосходящих 190, которые при делении на 4 дают остаток 1, равна 9071.