Question

Вася и Маша не умеют сокращать дроби. Они делают это неправильно. Вася думает,

что нужно от числителя отнять 3, а от знаменателя отнять 2.

Маша считает, что нужно от числителя отнять 2, а от знаменателя отнять 1.

Вася и Маша (не обязательно по очереди) двадцать раз «сократили» дробь 2018/2019

по своим

правилам и получили дробь со знаменателем 1995. Найдите числитель получившейся дроби.

Запишите решение и ответ.

Answer 1

Заметим, что и Вася и Маша при "сокращении" дроби от числителя отнимают число на 1 больше, чем от знаменателя.

После сокращений знаменатель дроби уменьшился на:

$2019-1995=24$

Поскольку сокращений было 20, то уменьшение числителя на 20 больше, чем уменьшение знаменателя. То есть числитель уменьшился на:

$24+20=44$

Значит, числитель стал равен:

$2018-44=1974$

ответ: 1974

Answer 2

Для решения данной задачи сначала нужно выразить условие в виде математического уравнения. Обозначим числитель и знаменатель начальной дроби, которую нужно сократить, через переменные x и y соответственно:

Исходная дробь: x/y

По условию задачи, Вася и Маша делают следующие действия:

Вася: от числителя отнимаем 3, от знаменателя отнимаем 2: (x-3)/(y-2)
Маша: от числителя отнимаем 2, от знаменателя отнимаем 1: (x-2)/(y-1)

Из условия задачи также известно, что после 20 "сокращений" дробь стала равна (1995/1).

Теперь у нас есть два уравнения:

(x-3)/(y-2) = 1995/1
(x-2)/(y-1) = 1995/1

Для решения системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки или методом равенства этих дробей.

Воспользуемся методом равенства дробей:

(x-3)/(y-2) = (x-2)/(y-1)

Умножаем обе части на (y-2)(y-1), чтобы избавиться от знаменателей:

(y-1)(x-3) = (y-2)(x-2)

Раскрываем скобки:

xy - 3y - x + 3 = xy - 2x - 2y + 4

Сокращаем подобные члены:

-3y - x + 3 = -2x - 2y + 4

Переносим все x-члены влево, а все y-члены вправо:

-x + 2x = -2y + 3y + 4 - 3

x = y + 1

Теперь подставляем это значение выражения для x в одно из исходных уравнений:

(x-3)/(y-2) = 1995/1

((y+1)-3)/(y-2) = 1995/1

(y-2)/(y-2) = 1995/1

Отсюда видно, что y-2 должно быть равно 1995, потому что дробь равна 1 при любом числителе.

y - 2 = 1995
y = 1997

Теперь найдем значение x, подставив найденное значение y в x = y + 1:

x = 1997 + 1
x = 1998

Таким образом, числитель получившейся дроби равен 1998.

Ответ: Числитель получившейся дроби равен 1998. Решение: x = 1998, y = 1997.