В зале собрались 1010 мудрецов. У них было 2019 карточек, пронумерованных всеми натуральными числами от 1 до 2019. При этом у старшего мудреца была одна карточка, а у каждого из остальных - по две. Все мудрецы знают числа только на своих карточках. Каждый, кроме старшего мудреца, сказал: "Я знаю, что я не могу отдать старшему мудрецу никакую из своих карточек так, чтобы сумма чисел на его двух карточках стала равна 2020". Какое число на карточке у старшего мудреца? ответ обоснуйте.
Итак, у нас имеются 1010 мудрецов, каждый из которых имеет карточки с номерами от 1 до 2019. У старшего мудреца есть только одна карточка, а у каждого из остальных мудрецов - две.
Мы должны определить число на карточке у старшего мудреца. Для этого рассмотрим возможные варианты.
Предположим, что на карточке старшего мудреца написано число "x". В таком случае, если мы сложим это число с 2020 (суммой чисел на его двух карточках), мы должны получить одно из чисел от 1 до 2019 - число, которое написано на карточке другого мудреца. Пусть это число будет "y".
Мы можем записать это как уравнение: x + 2020 = y.
Теперь рассмотрим поведение каждого мудреца:
1. Старший мудрец:
Он знает число "x" на своей карточке и слышит уравнение x + 2020 = y. Он понимает, что ни одно из чисел от 1 до 2019 не может быть равно "x + 2020", поэтому он знает, что число "x" не может быть равно 1, 2, 3, ... , 2019.
2. Остальные мудрецы:
Каждый из них услышал уравнение x + 2020 = y от старшего мудреца. Теперь они знают, что их число "y" не может быть равно 1, 2, 3, ... , 2019.
Теперь рассмотрим возможные варианты для числа "x":
1. Предположение: x = 1.
В этом случае, если старший мудрец отдаст свою карточку мудрецу с числом "2020", получится уравнение 1 + 2020 = 2021, что находится вне диапазона чисел от 1 до 2019. Поэтому это предположение неверно.
2. Предположение: x = 2.
Аналогично, если старший мудрец отдаст свою карточку мудрецу с числом "2019", получится уравнение 2 + 2019 = 2021, что также находится вне диапазона допустимых чисел. Поэтому и это предположение неверно.
3. Предположение: x = 3.
Опять же, если старший мудрец отдаст свою карточку мудрецу с числом "2018", получится уравнение 3 + 2018 = 2021, что находится вне диапазона чисел от 1 до 2019. Это предположение также неверно.
Мы видим, что любое предположение о числе "x" не приводит к допустимому значению для "y" в уравнении x + 2020 = y. Это значит, что старший мудрец не может иметь на своей карточке любое из чисел от 1 до 2019.
Таким образом, мы можем сделать вывод, что на карточке старшего мудреца написано число, которое не входит в диапазон от 1 до 2019. Единственное число, удовлетворяющее этому требованию, - 2020.
Ответ: Число на карточке старшего мудреца равно 2020.