Question

Преобразуйте в произведение:
а) sin(10 ) + cos(70)
б) cos(50) - sin(14)
в) cos(40) + sin(40)
г) sin(20) - cos(20)

​

Answer 1

Добрый день! Давайте посмотрим на каждое из выражений по очереди и постараемся преобразовать их в произведение.

а) Для преобразования выражения sin(10) + cos(70) в произведение, мы можем использовать формулу для суммы тригонометрических функций:
sin(a) + cos(b) = 2 * sin((a+b)/2) * cos((a-b)/2)

В нашем случае, a = 10 и b = 70, поэтому мы можем воспользоваться этой формулой:

sin(10) + cos(70) = 2 * sin((10+70)/2) * cos((10-70)/2)
= 2 * sin(40) * cos(-30)

Здесь возникает проблема, так как у нас есть тригонометрическая функция с отрицательным углом - cos(-30). Чтобы решить эту проблему, мы можем использовать формулу:
cos(-a) = cos(a)

Таким образом, мы можем заменить cos(-30) на cos(30) и продолжить с преобразованием:

= 2 * sin(40) * cos(30)

После этого мы можем воспользоваться формулой sin(2a) = 2 * sin(a) * cos(a) и упростить выражение:

= sin(2 * 40)
= sin(80)

Таким образом, выражение sin(10) + cos(70) преобразуется в sin(80).

б) Аналогично первому примеру, мы можем использовать формулу для разности тригонометрических функций:
cos(a) - sin(b) = 2 * sin((a+b)/2) * sin((a-b)/2)

В нашем случае, a = 50 и b = 14, поэтому мы можем воспользоваться этой формулой:

cos(50) - sin(14) = 2 * sin((50+14)/2) * sin((50-14)/2)
= 2 * sin(32) * sin(18)

Далее, мы можем воспользоваться формулой sin(2a) = 2 * sin(a) * cos(a) и упростить выражение:

= 2 * sin(32) * sin(2 * 9)
= 2 * sin(32) * 2 * sin(9) * cos(9)
= 4 * sin(32) * sin(9) * cos(9)

Таким образом, выражение cos(50) - sin(14) преобразуется в 4 * sin(32) * sin(9) * cos(9).

в) Для выражения cos(40) + sin(40), мы можем использовать формулу для суммы тригонометрических функций, которую уже использовали в первом примере:

cos(a) + sin(b) = 2 * sin((a+b)/2) * cos((b-a)/2)

В нашем случае, a = 40 и b = 40, поэтому формула примет следующий вид:

cos(40) + sin(40) = 2 * sin((40+40)/2) * cos((40-40)/2)
= 2 * sin(80) * cos(0)
= 2 * sin(80) * 1
= 2 * sin(80)

Таким образом, выражение cos(40) + sin(40) преобразуется в 2 * sin(80).

г) Для выражения sin(20) - cos(20), мы можем использовать формулу для разности тригонометрических функций, которую уже использовали во втором примере:

sin(a) - cos(b) = 2 * sin((a+b)/2) * sin((b-a)/2)

В нашем случае, a = 20 и b = 20, поэтому формула примет следующий вид:

sin(20) - cos(20) = 2 * sin((20+20)/2) * sin((20-20)/2)
= 2 * sin(40) * sin(0)
= 2 * sin(40) * 0
= 0

Таким образом, выражение sin(20) - cos(20) преобразуется в 0.