Question

Тема : произведение синуса и косинуса. Задание на листке

Answer 1

$\alpha +\beta =-\dfrac{\pi }{6}$

Выразим $\alpha$:

$\alpha =-\dfrac{\pi }{6}-\beta$

Подставим в известное равенство:

$\sin\alpha \cos\beta =\sin\left(-\dfrac{\pi }{6}-\beta\right)\cos\beta =\\\\=\dfrac{1}{2}\left(\sin\left(-\dfrac{\pi }{6}-\beta+\beta \right)+\sin\left(-\dfrac{\pi }{6}-\beta-\beta \right)\right)=\\\\=\dfrac{1}{2}\left(\sin\left(-\dfrac{\pi }{6}\right)+\sin\left(-\dfrac{\pi }{6}-2\beta \right)\right)=\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{1}{2}+\sin\left(-\dfrac{\pi }{6}-2\beta \right)\right)=\dfrac{1}{4}$

Выразим синус:

$\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{1}{2}+\sin\left(-\dfrac{\pi }{6}-2\beta \right)\right)=\dfrac{1}{4}$

$-\dfrac{1}{2}+\sin\left(-\dfrac{\pi }{6}-2\beta \right)=\dfrac{1}{2}$

$\sin\left(-\dfrac{\pi }{6}-2\beta \right)=1$

Преобразуем искомое выражение:

$4\sin(\alpha -\beta)= 4\sin\left(-\dfrac{\pi }{6}-\beta-\beta\right)=4\sin\left(-\dfrac{\pi }{6}-2\beta\right)=4\cdot1=4$

ответ: 4

Answer 2

Дано : sinαcosβ =1/4  ; α +β = - π/6 . Найти 4sin(α +β)

- - - - - - -  

sinαcosβ =( sin(α +β) +sin(α - β) ) / 2    || *8 ||⇔

8sinαcosβ = 4sin(α +β) +4sin(α - β)

4sin(α - β) = 8sinαcosβ - 4sin(α +β) =8*1/4  - 4*sin(-π/6) =

= 2 +4*sin(π/6)  = 2 + 4*1/2 = 4 .