a) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x) = 2x^3 - 2.5x^2 - x + 2 на отрезке [0; 2], нам нужно найти экстремумы функции в данном отрезке. Экстремумы — это значения функции, в которых она достигает своего максимального или минимального значения.
Шаг 1: Найдем производную функции f'(x) = 6x^2 - 5x - 1. Производная равна нулю в точках экстремума, поэтому мы найдем x, при которых производная равна нулю.
6x^2 - 5x - 1 = 0
Шаг 2: Решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу дискриминанта, чтобы найти корни:
D = (-5)^2 - 4 * 6 * (-1)
= 25 + 24
= 49
x = (-(-5) ± √49) / (2 * 6)
= (5 ± 7) / 12
x1 = (5 + 7) / 12
= 12 / 12
= 1
x2 = (5 - 7) / 12
= -2 / 12
= -1/6
Шаг 3: Теперь, чтобы найти значения функции в точках экстремума, мы должны подставить найденные значения x в исходную функцию:
На отрезке [0; 2/π] значения функции cos(x) находятся в диапазоне [1; -1], поэтому нам нужно найти только те x, при которых cos(x) = 1/2.
Такие значения x можно найти, рассматривая значения cos(x) наиболее близкие к 1/2. На отрезке [0; 2/π], ближайшие значения cos(x) равны 1 и 0. Поэтому x1 = 0 и x2 = π/3.
Шаг 4: Подставим найденные значения x в исходную функцию:
a) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x) = 2x^3 - 2.5x^2 - x + 2 на отрезке [0; 2], нам нужно найти экстремумы функции в данном отрезке. Экстремумы — это значения функции, в которых она достигает своего максимального или минимального значения.
Шаг 1: Найдем производную функции f'(x) = 6x^2 - 5x - 1. Производная равна нулю в точках экстремума, поэтому мы найдем x, при которых производная равна нулю.
6x^2 - 5x - 1 = 0
Шаг 2: Решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу дискриминанта, чтобы найти корни:
D = (-5)^2 - 4 * 6 * (-1)
= 25 + 24
= 49
x = (-(-5) ± √49) / (2 * 6)
= (5 ± 7) / 12
x1 = (5 + 7) / 12
= 12 / 12
= 1
x2 = (5 - 7) / 12
= -2 / 12
= -1/6
Шаг 3: Теперь, чтобы найти значения функции в точках экстремума, мы должны подставить найденные значения x в исходную функцию:
f(1) = 2 * 1^3 - 2.5 * 1^2 - 1 + 2
= 2 - 2.5 - 1 + 2
= 0.5
f(-1/6) = 2 * (-1/6)^3 - 2.5 * (-1/6)^2 - (-1/6) + 2
= -2/216 - 2.5/36 + 1/6 + 2
= -2/216 - 5/36 + 6/36 + 72/36
= -2/216 - 5/36 + 8/36
= -2/216 - 5/36 + 8/36
= 1/108 - 5/36 + 8/36
= 1/108 + 3/36
= 1/108 + 1/12
= 9/972 + 81/972
= 90/972
= 5/54
Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [0; 2] составляет 0.5, а наименьшее значение равно 5/54.
б) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x) = 3x - 6sin(x) на отрезке [0; 2/π], мы снова должны найти экстремумы функции.
Шаг 1: Найдем производную функции f'(x) = 3 - 6cos(x).
Шаг 2: Положим производную равной нулю: 3 - 6cos(x) = 0.
Шаг 3: Решим уравнение: cos(x) = 3/6 = 1/2.
На отрезке [0; 2/π] значения функции cos(x) находятся в диапазоне [1; -1], поэтому нам нужно найти только те x, при которых cos(x) = 1/2.
Такие значения x можно найти, рассматривая значения cos(x) наиболее близкие к 1/2. На отрезке [0; 2/π], ближайшие значения cos(x) равны 1 и 0. Поэтому x1 = 0 и x2 = π/3.
Шаг 4: Подставим найденные значения x в исходную функцию:
f(0) = 3 * 0 - 6sin(0)
= 0
f(π/3) = 3 * (π/3) - 6sin(π/3)
= π - 6 * (√3/2)
= π - 3√3
Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [0; 2/π] составляет π - 3√3, а наименьшее значение равно 0.