10.5. Свойства производных, связанные с арифметическими действиями над функциями
Теорема 3. Если функции y1 = f1(x) и y2 = f2(x) заданы в окрестности точки x0 принадлежит R, а в самой точке x0 имеют конечные производные, то функции lamda1 f1(x) +lamda2 f2(x), lamda1 принадлежит R, lamda1 принадлежит R, f1(x)f2(x), а в случае f2(x0)не равно0 и функции f1(x)/f2(x) также имеют в точке x0 конечные производные; при этом имеют место формулы
Заметив, что в силу непрерывности функции f2 в точке x0 выполняется условие дельтаy2 = 0, и, перейдя в равенстве (10.24) к пределу при дельтаx0, получим формулу (10.22).
3. Пусть f2(x0)не равно0, и y = y1/y2; тогда
следовательно,
Перейдя здесь к пределу при дельтаx0, получим формулу (10.23). начало
Отметим, что из формулы (10.21) при y2 = 0 (так же, как и из формулы (10.22), когда функция y2 равна постоянной, а поэтому y'2 = 0) следует, что постоянную можно выносить из-под знака дифференцирования, т. е.
(lamday)' = lamday', lamda принадлежит R.
Пример. Вычислим производную функции tg x. Применяя формулу (10.23), получим
Итак,
(tg x)' = 1/cos2x.
Аналогично вычисляется
(ctg x)' = -1/sin2x.
Замечание. Поскольку dx = y'dx, то, умножая формулы (10.21)-(10.23) на dx, получим
Қоңыр аю - оның тайпасындағы ең атақты. Ол түрлі халықтардың көптеген ертегілер мен аңыздарда түртіндінің болды. Ол жиі цирк көруге болады. Ол оқыту үшін жақсы интеллект, үлкен деңгейі бар.
80 800 кг, 250 см, дене ұзындығы, холке 120 см кем биіктігі оның салмағы. Аналықтары ерлер аз. Bears үлкен басын, шағын дөңгелек құлағы, шағын көз, аяқтар когти бар. демек қоңыр аң түсті, оның атауы.
Еуразияның орманды аймағында бүкіл осы жануарларды мекендейді. Өкінішке орай, көптеген еуропалық жерлерде қираған ұсталық. Біздің елімізде, оның коммерциялық және спорт аң аулау объектiсi айналды. Bears әдетте ормандарда, жақын ағындарын өмір сүреді. Әрбір жеке өз аумағы бар, олар оны белгілеп Шекара. аналық қарағанда Ер бөліктер 7 есе көп. Ол өсімдік азық-түлік қоректенеді - жемістерді, жаңғақтарды, жидектер, тамыр, сұлы және курстық бал өте ұнады. Ол жейтін ұнатады, ол қаншалықты жақсы балық біледі.
Көктем аю жыртқыш қабан, бұлан, бұғы немесе жеуге болады айналады. Ырыққа, лайықты жылдамдығын дамыту қабілетті күшті әсер етеді. Bear Күту күйі апанына үшін барлық қысқы әдетте құлаған ағаштарды астында, өзін ұйымдастырады ұйқың. Бұған дейін ол молынан қопасының Жирков болды, май жинақтау, көп жейді.
Қоңыр аю - оның тайпасындағы ең атақты. Ол түрлі халықтардың көптеген ертегілер мен аңыздарда түртіндінің болды. Ол жиі цирк көруге болады. Ол оқыту үшін жақсы интеллект, үлкен деңгейі бар.
80 800 кг, 250 см, дене ұзындығы, холке 120 см кем биіктігі оның салмағы. Аналықтары ерлер аз. Bears үлкен басын, шағын дөңгелек құлағы, шағын көз, аяқтар когти бар. демек қоңыр аң түсті, оның атауы.
Еуразияның орманды аймағында бүкіл осы жануарларды мекендейді. Өкінішке орай, көптеген еуропалық жерлерде қираған ұсталық. Біздің елімізде, оның коммерциялық және спорт аң аулау объектiсi айналды. Bears әдетте ормандарда, жақын ағындарын өмір сүреді. Әрбір жеке өз аумағы бар, олар оны белгілеп Шекара. аналық қарағанда Ер бөліктер 7 есе көп. Ол өсімдік азық-түлік қоректенеді - жемістерді, жаңғақтарды, жидектер, тамыр, сұлы және курстық бал өте ұнады. Ол жейтін ұнатады, ол қаншалықты жақсы балық біледі.
Көктем аю жыртқыш қабан, бұлан, бұғы немесе жеуге болады айналады. Ырыққа, лайықты жылдамдығын дамыту қабілетті күшті әсер етеді. Bear Күту күйі апанына үшін барлық қысқы әдетте құлаған ағаштарды астында, өзін ұйымдастырады ұйқың. Бұған дейін ол молынан қопасының Жирков болды, май жинақтау, көп жейді.
10.5. Свойства производных, связанные с арифметическими действиями над функциями
Теорема 3. Если функции y1 = f1(x) и y2 = f2(x) заданы в окрестности точки x0 принадлежит R, а в самой точке x0 имеют конечные производные, то функции lamda1 f1(x) +lamda2 f2(x), lamda1 принадлежит R, lamda1 принадлежит R, f1(x)f2(x), а в случае f2(x0)не равно0 и функции f1(x)/f2(x) также имеют в точке x0 конечные производные; при этом имеют место формулы
(lamda1 y1 +lamda2 y2)' = lamda1 y'1 +lamda2 y'2, (10.21)
(y1y2)' = y'1y2 + y1y'2, (10.22)
(10.23)
(в формулах (10.21)-(10.23) значения всех функций взяты при x = x0).
Прежде всего заметим, что в силу условий теоремы в точке x0 существуют конечные пределы
(дельтаy1/дельтаx) = y'1, (дельтаy2/дельтаx) = y'2.
Докажем теперь последовательно формулы (10.21)-(10.23).
1) Пусть y = lamda1 y1 +lamda2 y2; тогда
дельта y = (lamda1( y1 + дельтаy1) + lamda2( y2 + дельтаy2)) - (lamda1y1 + lamda2y2) = lamda1дельтаy1 + lamda2дельтаy2
и, следовательно,
дельтаy1/дельтаx = lamda1дельтаy1/дельтаx + lamda2дельтаy2/дельтаx.
Перейдя здесь к пределу при дельтаx0, получим формулу (10.21).
2) Пусть y2 = y1y2; тогда
дельта y = ( y1 + дельтаy1)( y2 + дельтаy2)) - y1y2 = y2y1 + y2дельтаy1 + y1дельтаy2 + дельтаy1дельтаy2,
откуда
дельтаy1/дельтаx = y2дельтаy1/дельтаx + y1дельтаy2/дельтаx. (10.24)
Заметив, что в силу непрерывности функции f2 в точке x0 выполняется условие дельтаy2 = 0, и, перейдя в равенстве (10.24) к пределу при дельтаx0, получим формулу (10.22).
3. Пусть f2(x0)не равно0, и y = y1/y2; тогда
следовательно,
Перейдя здесь к пределу при дельтаx0, получим формулу (10.23). начало
Отметим, что из формулы (10.21) при y2 = 0 (так же, как и из формулы (10.22), когда функция y2 равна постоянной, а поэтому y'2 = 0) следует, что постоянную можно выносить из-под знака дифференцирования, т. е.
(lamday)' = lamday', lamda принадлежит R.
Пример. Вычислим производную функции tg x. Применяя формулу (10.23), получим
Итак,
(tg x)' = 1/cos2x.
Аналогично вычисляется
(ctg x)' = -1/sin2x.
Замечание. Поскольку dx = y'dx, то, умножая формулы (10.21)-(10.23) на dx, получим
d(lamda1 y1 +lamda2 y2) = lamda1dy1 +lamda2 dy',
d(y1y2) = y2dy1 + y1dy2,