Будем отмечать каждый день количество задач решенных с 1 января по текущий
день включительно.
Получим 365 чисел.
Если разность каких-либо двух из этих чисел равна 20, то утверждение задачи верно.
Докажем, что такая пара найдется.
Обозначим Ок количество чисел дающих при делении на 20 остаток к
Очевидно О0+О1+О2+О3+...+О18+О19=365
поскольку каждое число хоть какой-нибудь остаток имеет.
Далее, хотя бы одно из Ок не меньше 19 (иначе сумма Ок не больше 360)
Возьмем под пристальное наблюдение числа с таким остатком. Те самые, которых не меньше 19.
Разность любых двух из них делится на 20.
Осталось показать, что разность хотя бы двух из них не превосходит, например, 32 (чтоб легче было считать). Тогда она равна 20, поскольку делится на 20.
Допустим противное: разность любых двух последовательных больше 32. Тогда самое
большое из них будет не меньше 18*32=576.
Но поскольку решалось не более 12 задач в неделю, то число всех решенных за год
задач не превосходит 52*12+12=546
Отрезков длиной 32 покрывающих промежуток (0,546) не более 18. А чисел
с одинаковыми остатками не меньше 19.
Значит хотя бы 2 их них попадут в один промежуток (принцип Дирихле)
(вероятность выпадения каждого из чисел 1/4 = 25%),
то шарик не помнит, куда он попал предыдущий раз.
На следующий раз, и на все разы, вероятность выпадения любого числа будет оставаться 25%.
В этом весь принцип рулетки, костей, монеты и прочих случайных опытов.
Многие азартные игроки этого не понимают, строят всякие схемы, на что нужно ставить в зависимости от того, что уже выпало, и разоряются.
2) А вот вероятность того, что одно и тоже число выпадет n раз подряд,
равна (1/4)^n.
В частности, для 2 бросков это будет (1/4)^2 = 1/16 = 0,0625 ~ 6%.
Для трех бросков это будет (1/4)^3 = 1/64, и так далее.