Question

Нужна с этими определенными интегралами.Найдется решение - буду очень признателен)

Answer 1

$\int\limits_{0}^{2} (3 - 2x e^{-3x}) \, dx$

Найдём неопределённый интеграл:

$\int (3 - 2x e^{-3x}) \, dx = \int 3 \, dx - \int 2x e^{-3x} \, dx = 3x - \int 2x e^{-3x} \, dx = \\= 3x + \frac23\int x e^{-3x} \, d(-3x) = 3x + \frac23\int x \, d(e^{-3x})\\\int x \, d(e^{-3x}) = -\frac13 \int \ln t dt = -\frac13 (t\ln t - \int t \, d(\ln t)) = -\frac13 (t\ln t - t) = \\=\frac13 (e^{-3x} + 3x e^{-3x})$

Исходный интеграл равен $3x + \frac29 (e^{-3x} + 3x e^{-3x})$.

Подставим значения:

$3x + \frac29 (e^{-3x} + 3x e^{-3x})\Big|^{2}_{0} = 6 + \frac{14e^{-6}}{9} - \frac29 = \frac{52 + 14e^{-6}}{9}$