Question

Найти стационарные точки функции
1) y=x³-4x²
2) у=4х⁴-2x²+3

Answer 1

Чтобы найти стационарные точки функции, нам понадобится найти значения переменной, при которых производная функции равна нулю.

1) Найдем производную функции y = x³ - 4x²:

y' = 3x² - 8x.

Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

3x² - 8x = 0.

Факторизуем это уравнение:

x(3x - 8) = 0.

Отсюда получаем два возможных значения x:

x₁ = 0 и x₂ = 8/3.

Теперь найдем соответствующие значения y для этих точек:

для x₁ = 0: y₁ = (0)³ - 4(0)² = 0,

для x₂ = 8/3: y₂ = (8/3)³ - 4(8/3)² = 64/27 - 256/9 = 64/27 - 864/27 = - 800/27.

Таким образом, стационарные точки функции y = x³ - 4x² равны (0, 0) и (8/3, -800/27).

2) Найдем производную функции y = 4x⁴ - 2x² + 3:

y' = 16x³ - 4x.

Прировняем производную к нулю и решим уравнение:

16x³ - 4x = 0.

Факторизуем его:

4x(x² - 1) = 0.

Получаем три возможных значения x:

x₁ = 0, x₂ = -1 и x₃ = 1.

Теперь найдем соответствующие значения y:

для x₁ = 0: y₁ = 4(0)⁴ - 2(0)² + 3 = 3,

для x₂ = -1: y₂ = 4(-1)⁴ - 2(-1)² + 3 = 4 - 2 + 3 = 5,

для x₃ = 1: y₃ = 4(1)⁴ - 2(1)² + 3 = 4 - 2 + 3 = 5.

Таким образом, стационарные точки функции y = 4x⁴ - 2x² + 3 равны (0, 3), (-1, 5) и (1, 5).