Сумма 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2 = 81k
n(n + 1) = 162k
Число 162k является произведением двух последовательных чисел.
Можно разложить его на множители:
162k = 2*3^4*k = 2*81k = 3*54k = 6*27k = 9*18k = 18*9k = 27*6k = 54*3k = 81*2k
Произведения 2*81k = 3*54k = 6*27k = 9*18k очевидно, не подходят.
Возьмем 18*9k. Соседние с 18 числа 17 и 19 на 9 не делятся.
Возьмем 27*6k. Соседние с 27 числа 26 и 28 на 6 не делятся.
Возьмем 54*3k. Соседние с 54 числа 53 и 55 на 3 не делятся.
Возьмем 81*2k. Соседние с 81 числа 80 и 82 на 2 делятся.
Наименьшее n = 81, сумма равна 81*82/2 = 3321.
ответ 81.
D = 19^2 - 4•2•24 = 361 - 192 = 169
√D = √169 = 13
x1 = (-19 + 13)/(2•2) = -6/4 = -1,5
x2 = (-19 - 13)/(2•2) = -32/4 =-8
(x+1,5)(x+8) ≤ 0
Это неравенство может быть верно при условии
если:
(x+1,5) ≥ 0
(x+8) ≤ 0
или если:
(x+1,5) ≤ 0
(x+8) ≥ 0
Рассмотрим сочетание:
x+1,5 ≥ 0
x + 8 ≤ 0
Видим, что
x ≥ -1,5
x ≤ -8
Проверим.
Например, при х = -1
2(-1)^2 + 19•(-1) + 24 = 2 - 19 +24 = 7 > 0
Или, например, при х = -10
2(-10)^2+19(-10)+24 = 200-190+24 = 34>0
Не удовлетворяет условию.
Поэтому этот интервал корней нам не подходит.
Рассмотрим сочетание:
x+1,5 ≤ 0
x+8 ≥ 0
Видим, что
х ≤ -1,5
х ≥ -8
Проверим при х=-1,5
2(-1,5)^2+19(-1,5)+24 = 4,5 - 28,5 + 24 = 0
Проверим при х=-4
2(-4)^2+19(-4)+24 = 32 - 76 + 24 = -20 <0
Проверим при х=-8
2(-8)^2+19(-8)+24 = 128 - 152 + 24 = 0
Этот интервал нам подходит.
8 ≤ х ≤-1,5 или [-8; -1,5]
Целые значения х в этом интервале:
-2; -3; -4; -5; -6; -7; -8 - то есть семь целых решений.
ответ: 7 целых решений.