Question

Найти точку пересечения прямой (x - 7) / 5 =( y - 4) / 1 = (Z - 5)/4 и плоскости 3x-y+2z-5=0

Answer 1

Для того, чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнения прямой и уравнения плоскости.

Уравнение прямой задано в параметрической форме:

x - 7 = 5t ---> уравнение 1,
y - 4 = t, ---> уравнение 2,
z - 5 = 4t. ---> уравнение 3.

Уравнение плоскости имеет вид:

3x - y + 2z - 5 = 0. ---> уравнение 4.

Для начала, мы можем избавиться от параметра t, подставив выражение из уравнения 2 в уравнение 1 и выражение из уравнения 3:

x - 7 = 5(y - 4),
x - 7 = 2(z - 5/4).

Раскроем скобки и упростим выражения:

x - 7 = 5y - 20,
x - 7 = 2z - 10/4.

Сгруппируем переменные и числа:

x - 5y = -13. ---> уравнение 5,
x - 2z = -23/4. ---> уравнение 6.

Теперь у нас есть система уравнений, состоящая из уравнений 4, 5 и 6:

3x - y + 2z - 5 = 0,
x - 5y = -13,
x - 2z = -23/4.

Решим эту систему уравнений методом подстановки.

Возьмем первое уравнение, и решим его относительно y:

y = 3x + 2z - 5. ---> уравнение 7.

Теперь подставим выражение для y из уравнения 7 во второе уравнение:

x - 5(3x + 2z - 5) = -13.

Раскрываем скобки и упрощаем:

x - 15x - 10z + 25 = -13,
-14x - 10z = -38,
7x + 5z = 19/2. ---> уравнение 8.

Теперь подставим выражение для y из уравнения 7 в третье уравнение:

x - 2z = -23/4. ---> уравнение 9.

Упростим уравнение 9:

4x - 8z = -23,
2x - 4z = -23/2,
x - 2z = -23/4. ---> уравнение 10.

Теперь у нас есть система уравнений, состоящая из уравнений 8 и 10:

7x + 5z = 19/2,
x - 2z = -23/4.

Решим ее методом сложения уравнений.

Умножим первое уравнение на 2 и второе на 7:

14x - 28z = -23,
7x + 5z = 19/2.

Сложим эти уравнения:

21x - 23z = -23 + 19/2,
21x - 23z = -46/2 + 19/2,
21x - 23z = -27/2,
42x - 46z = -27.

Теперь мы можем решить эту систему методом уравнения прямой.

Умножим первое уравнение на 42 и второе на 21:

42x - 46z = -27,
42x + 30z = 19/2.

Вычтем второе уравнение из первого:

42x - 46z - 42x - 30z = -27 - 19/2,
16z = -27 - 19/2,
16z = -54/2 - 19/2,
16z = -73/2,
z = (-73/2) / 16,
z = -73/32.

Теперь найдем x, подставив значение z в уравнение 10:

x - 2(-73/32) = -23/4,
x + 73/16 = -23/4,
x = -23/4 - 73/16,
x = (-92 - 73) / 16,
x = -165 / 16.

Теперь найдем y, подставив значения x и z в уравнение 7:

y = 3(-165/16) + 2(-73/32) - 5,
y = -495/16 - 73/16 - 80/16,
y = (-495 - 73 - 80) / 16,
y = -648 / 16,
y = -81/2.

Итак, точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты x = -165/16, y = -81/2, z = -73/32.