Question

Найти общее решение (интеграл) однородного дифференциального уравнения (ДУ) первого порядка x^3dy-y(x^2+y^2)dx=0

Answer 1

Для решения данного дифференциального уравнения, мы можем использовать метод разделения переменных.

Шаг 1: Перепишем дифференциальное уравнение в следующем виде:
x^3dy - y(x^2+y^2)dx = 0

Шаг 2: Разделим оба слагаемых на x^3 и y(x^2+y^2):
(dy)/(y) = (xdx)/(x^2+y^2)

Шаг 3: Поделим выражение на x:
(dy)/(y) = (dx)/(x) - (y^2)/(x^2+y^2)dx

Шаг 4: Обозначим замену y = ux:
dy = udx + xdu

Шаг 5: Подставим замену в уравнение и продолжим упрощать:
udx + xdu = dx - (u^2x^2)/(x^2+u^2) dx

Шаг 6: Сократим одинаковые слагаемые:
udx = -(u^2x^2)/(x^2+u^2) dx

Шаг 7: Разделим уравнение на x и выразим dx:
(1/u) du = -(x/(x^2+u^2)) dx

Шаг 8: Проинтегрируем обе части уравнения:
∫(1/u) du = -∫(x/(x^2+u^2)) dx

Шаг 9: Проинтегрируем левую часть по переменной u:
ln|u| = -∫(x/(x^2+u^2)) dx

Шаг 10: Вычислим правую часть интеграла:
ln|u| = -∫(x/(x^2+u^2)) dx = -1/2 ln(x^2+u^2) + C

Шаг 11: Вернемся к исходной переменной:
ln|y/x| = -1/2 ln(x^2+y^2) + C

Шаг 12: Упростим левую часть, используя свойства натурального логарифма:
ln|y| - ln|x| = -1/2 ln(x^2+y^2) + C

Шаг 13: Объединим логарифмы с коэффициентами перед ними:
ln|y| - ln|x| = ln((x^2+y^2)^(-1/2)) + C

Шаг 14: Применим свойство логарифмов:
ln|y/x| = ln((x^2+y^2)^(-1/2)) + C

Шаг 15: Уберем логарифмы, применив экспоненциальную функцию:
(e^(ln|y/x|)) = e^(ln((x^2+y^2)^(-1/2))) * e^C

Шаг 16: Подсчитаем значения:
y/x = (x^2+y^2)^(-1/2) * e^C

Шаг 17: Упростим левую часть:
y/x = (x^2+y^2)^(-1/2) * C'

Шаг 18: Умножим обе части на x и перенесем все слагаемые на одну сторону:
xy = C' * (x^2+y^2)^(-1/2)

Шаг 19: Воспользуемся тождеством a^2 + b^2 = (a + bi)(a - bi), где a = x, b = y:
xy = C' * [(x + yi)(x - yi)]^(-1/2)

Шаг 20: Возведем все возвратные значения в квадрат:
(x^2)(y^2) = C'^2 * [(x + yi)(x - yi)]^(-1)

Шаг 21: Сократим x^2 и y^2 на обеих сторонах:
y^2 = C'^2 * [(x + yi)(x - yi)]^(-1) / x^2

Шаг 22: Воспользуемся свойствами сопряженных комплексных чисел:
y^2 = C'^2 * [(x + yi)(x - yi)]^(-1) / x^2 = C'^2 * [(x + yi)(x - yi)] / (x^2(x^2+y^2))

Шаг 23: Упростим выражение:
y^2 = C'^2 * [(x^2 - y^2) + 2yix] / (x^2(x^2+y^2))

Шаг 24: Разделим обе части на C'^2:
y^2 / C'^2 = [(x^2 - y^2) + 2yix] / (x^2(x^2+y^2))

Шаг 25: Приведем подобные слагаемые:
y^2 / C'^2 = (x^2 - y^2) / (x^2(x^2+y^2)) + (2yix) / (x^2(x^2+y^2))

Шаг 26: Упростим выражение:
y^2 / C'^2 = 1 / x^2 - y^2 / (x^2+y^2) + 2yi / (x^2+y^2)

Шаг 27: Приведем дроби к общему знаменателю:
y^2 / C'^2 = (x^2+y^2-y^2) / (x^2(x^2+y^2)) + 2yi / (x^2+y^2)

Шаг 28: Упростим выражение:
y^2 / C'^2 = x^2 / (x^2(x^2+y^2)) + 2yi / (x^2+y^2)

Шаг 29: Сократим х^2:
y^2 / C'^2 = 1 / (x^2+y^2) + 2yi / (x^2+y^2)

Шаг 30: Объединим дроби:
y^2 / C'^2 = (1 + 2yi) / (x^2+y^2)

Шаг 31: Умножим обе части на x^2+y^2:
y^2 = C'^2(1 + 2yi)

Шаг 32: Раскроем скобки:
y^2 = C'^2 + 2C'yi

Шаг 33: В итоге, общее решение однородного дифференциального уравнения будет иметь вид y^2 = C'(1 + 2yi), где C' - произвольная постоянная.