Question

Для функции f(x) = 2(x-1,5):
а) найдите общий вид первообразных;
б)напишите первообразную,график которой проходит через точку А(1;2).​

Answer 1

Для начала, давайте разберемся с самим понятием первообразной функции.
Первообразная функции f(x) - это такая функция F(x), производная которой равна исходной функции f(x). Математически это можно записать как F'(x) = f(x).
То есть, если мы найдем первообразную функции f(x), то сможем найти такую функцию F(x), производная которой будет равна f(x).

а) Нам дана функция f(x) = 2(x-1,5). Чтобы найти ее первообразные, нужно вернуться к основным правилам нахождения первообразной функции.

1. Если f(x) = k, где k - некоторая константа, то первообразная будет иметь вид F(x) = kx + C, где С - произвольная постоянная.

2. Если f(x) = x^n, где n ≠ -1, то первообразная будет иметь вид F(x) = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C.

3. Если f(x) = k * f_1(x), где k - некоторая константа, а f_1(x) - функция, для которой уже известны первообразные, то первообразная будет иметь вид F(x) = k * F_1(x) + C, где F_1(x) - первообразная функции f_1(x), а C - произвольная постоянная.

Применим эти правила к нашей функции:

f(x) = 2(x-1,5)
= 2x - 2 * 1,5
= 2x - 3.

Обратим внимание, что в данном случае константа k = 2, а функция f_1(x) = x. Используя третье правило, получим:

F(x) = 2 * (1/2) * x^2 + C
= x^2 + C.

Таким образом, общий вид первообразных для функции f(x) = 2(x-1,5) будет F(x) = x^2 + C.

б) Теперь нам нужно найти такую первообразную функцию, график которой проходит через точку А(1;2).
Для этого мы можем использовать полученный общий вид первообразных и подставить в него координаты точки А.

F(x) = x^2 + C
Подставим x = 1 и y = 2:
2 = 1^2 + C
2 = 1 + C
C = 2 - 1
C = 1.

Таким образом, первообразная функция, график которой проходит через точку А(1;2), будет F(x) = x^2 + 1.