Я рад выступить в роли школьного учителя и помочь вам с задачами по тригонометрии. Давайте решим каждую задачу по порядку, объясняя каждый шаг и обосновывая ответ.
а) 2cos²α + 1, при tg α = π/4:
Для начала, заметим, что tg α = sin α / cos α. Также, известно, что sin α = 1/√2 и cos α = 1/√2, при tg α = π/4. Мы можем это вывести, используя такие треугольники, как прямоугольный треугольник с катетами 1 и 1 в ратио 1:1, или треугольник Пифагора с гипотенузой 1 и катетом 1/√2 в ратио 1:√2. Отсюда следует, что sin α = 1/√2 и cos α = 1/√2.
Теперь подставим значения sin α и cos α в выражение:
2(1/√2)² + 1 = 2(1/2) + 1 = 1 + 1 = 2.
Ответ: 2.
б) sin²x - 2cos²x, если sin x = -0.4:
Нам дано значение sin x, поэтому мы можем найти cos x, используя тождество Пифагора sin²x + cos²x = 1. Подставим -0.4 вместо sin x: (-0.4)² + cos²x = 1. Решим это уравнение для cos x.
0.16 + cos²x = 1
cos²x = 1 - 0.16
cos²x = 0.84
cos x = √0.84
Теперь, подставим значения sin x и cos x в выражение:
sin²x - 2cos²x = (-0.4)² - 2(√0.84)²
= 0.16 - 2(0.84)
= 0.16 - 1.68
= -1.52.
Ответ: -1.52.
в) (1 - sin²α)·tg²α:
Так как нам дано выражение, нам необходимо заменить sin α на соответствующее значение. Опять же, используем тождество Пифагора sin²α + cos²α = 1 для нахождения значения cos α. Затем, можем вычислить tg α по формуле tg α = sin α / cos α.
Поскольку sin²α + cos²α = 1, то 1 - sin²α = cos²α. Подставим это значение в выражение:
а) 2cos²α + 1, при tg α = π/4:
Для начала, заметим, что tg α = sin α / cos α. Также, известно, что sin α = 1/√2 и cos α = 1/√2, при tg α = π/4. Мы можем это вывести, используя такие треугольники, как прямоугольный треугольник с катетами 1 и 1 в ратио 1:1, или треугольник Пифагора с гипотенузой 1 и катетом 1/√2 в ратио 1:√2. Отсюда следует, что sin α = 1/√2 и cos α = 1/√2.
Теперь подставим значения sin α и cos α в выражение:
2(1/√2)² + 1 = 2(1/2) + 1 = 1 + 1 = 2.
Ответ: 2.
б) sin²x - 2cos²x, если sin x = -0.4:
Нам дано значение sin x, поэтому мы можем найти cos x, используя тождество Пифагора sin²x + cos²x = 1. Подставим -0.4 вместо sin x: (-0.4)² + cos²x = 1. Решим это уравнение для cos x.
0.16 + cos²x = 1
cos²x = 1 - 0.16
cos²x = 0.84
cos x = √0.84
Теперь, подставим значения sin x и cos x в выражение:
sin²x - 2cos²x = (-0.4)² - 2(√0.84)²
= 0.16 - 2(0.84)
= 0.16 - 1.68
= -1.52.
Ответ: -1.52.
в) (1 - sin²α)·tg²α:
Так как нам дано выражение, нам необходимо заменить sin α на соответствующее значение. Опять же, используем тождество Пифагора sin²α + cos²α = 1 для нахождения значения cos α. Затем, можем вычислить tg α по формуле tg α = sin α / cos α.
Поскольку sin²α + cos²α = 1, то 1 - sin²α = cos²α. Подставим это значение в выражение:
(1 - sin²α)·tg²α = cos²α·tg²α.
Далее, подставим формулу tg α = sin α / cos α:
cos²α·tg²α = (cos α / cos α)²·sin²α = sin²α.
Ответ: sin²α.