Question

Сколько существует 5-значных десятичных чисел, в каждом из которых точно две одинаковые цифры, а остальные встречаются не более чем по одному разу? Числа могут начинаться с нуля.

Answer 1

Чтобы решить эту задачу, мы можем разделить ее на несколько шагов.

Шаг 1: Определение возможных цифр
Сначала определим, какие цифры могут использоваться в наших 5-значных числах. В задаче уже сказано, что числа могут начинаться с нуля и что каждое число должно иметь ровно две одинаковые цифры. Кроме того, нам нужно учесть, что другие цифры должны встречаться не более одного раза. Значит, можно использовать любую цифру от 0 до 9 включительно.

Шаг 2: Определение расположения одинаковых цифр
Мы можем выбрать, где разместить две одинаковые цифры в нашем 5-значном числе. Количество способов для этого равно количеству сочетаний из 5 элементов по 2: C(5, 2) = 5!/(2!(5-2)!) = 10. Это означает, что мы можем разместить две одинаковые цифры на 10 различных позициях в нашем числе.

Шаг 3: Определение различных цифр
Теперь, когда у нас есть две одинаковые цифры и они размещены на 10 возможных позициях, мы можем выбирать оставшиеся три цифры из оставшихся девяти возможных цифр (исключая уже использованные две одинаковые цифры). Это можно сделать с помощью перестановок из 9 элементов по 3: P(9, 3) = 9!/(9-3)! = 9!/6! = 9*8*7 = 504. Это означает, что есть 504 разных способа выбрать три разных цифры для нашего числа.

Шаг 4: Объединение всех возможностей
Теперь, у нас есть 10 способов выбрать позиции для одинаковых цифр и 504 способа выбрать различные цифры для остальных позиций. Мы можем применить правило умножения для определения общего числа возможных 5-значных чисел, которые удовлетворяют условиям задачи: 10 * 504 = 5040.

Ответ: Существует 5040 различных 5-значных десятичных чисел, в каждом из которых точно две одинаковые цифры, а остальные встречаются не более по одному разу.