Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис. Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров. В равностороннем треугольнике биссектрисы являются и медианами и высотами, откуда они являются и серединными перпендикулярами. значит, центры вписанной и описанной окружности совпадают.
Если у треугольника совпадают центры вписанной и описанной окружностей, то такой треугольник - равносторонний и углы у него по 60 градусов.
Где p – полупериметр данного треугольника, S – его площадь.
Доказательство:
Пускай дан произвольный треугольник ∆АВС и вписанная в него окружность. Соединим центр окружности О с вершинами треугольника получим:
Проведём радиусы (r) окружности к сторонам треугольника (a, b, c) (по свойству касательной, радиусы перпендикулярны сторонам). Тогда: