№ 1. 14/27 + 2/27 = 16/27; 11/35 + 12/35 = 23/35; 17/60 + 12/60 = 29/60; 32/55 + 23/55 = 55/55 = 1; 5/33 + 6/33 = 11/33 = 1/3; 12/48 + 12/48 = 24/48 = 1/2; 8/99 + 91/99 = 99/99 = 1; 77/90 + 13/90 = 90/90 = 1
№ 2. 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 = 4/2 = 2; 1/3 + 2/3 + 1/3 + 5/3 = 9/3 = 3; 7/13 + 4/13 + 2/13 = 13/13 = 1; 1/96 + 5/96 + 11/96 + 31/96 = 48/96 = 1/2; 1/42 + 15/42 + 17/42 + 9/42 = 42/42 = 1; 19/78 + 53/78 + 37/78 + 21/78 = 130/78 = 1 52/78 = 1 2/3
№ 3. 1/2 +1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6; 1/2 + 1/5 = 5/10 + 2/10 = 7/10 = 0,7; 1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12; 1/4 + 1/5 = 5/20 + 4/20 = 9/20; 1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4; 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2; 1/2 + 1/6 = 3/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3; 1/4 + 1/8 = 2/8 + 1/8 = 3/8
№ 4. 1/10 + 7/100 = 10/100 + 7/100 = 17/100 = 0,17; 21/100 + 1/10 = 21/100 + 10/100 =31/100 = 0,31; 3/5 + 9/10 = 6/10 + 9/10 = 15/10 = 1 5/10 = 1,5
N/10^k тогда верно что:
n/2n^2+1=N/10^k
n*10^k/2n^2 +1=N
число n не имеет с числом 2n^2+1 общих простых делителей.
Действительно тк число 2n^2 cодержит в себе все простые делители числа n,то число 2n^2+1 не содержит всех этих делителей,тк это число будет давать на все эти делители остаток 1,тк 1-это наименьшее число из всех простых делителей.Число 10^k содержит делители 2^m и 5^p p,m-натуральные числа (p<=k m<=k)
делитель 2^m четный ,а число 2n^2+1 всегда нечетно ,то делитель 2^m у них быть общим не может.Если у числа 2n^2+1 есть общий делитель 5^p,то оно либо оканчивается на цифру 0 или цифру 5.Проанализируем все варианты: число n может кончаться на цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
тогда число 2n^2+1 может оканчиваться на цифры 1,3,9,9,3,1,3,9,9,3 то есть это число не может иметь делитель 5^p.
Таким образом числитель и знаменатель дроби n*10^k/2n^2+1 не имеют общих делителей,тогда эта дробь несократима,а тк из равенства
n*10^k/2n^2+1=N то несократимая дробь равна натуральному числу,а такое невозможно,то есть мы пришли к противоречию,значит эта дробь бесконечно периодическая при любом n.Теперь самое трудное.Необходимо доказать,что эта дробь чисто периодическая (без примесей)
Любое чисто периодическое число меньшее 1 (как и наше при любом n)
представимо в виде: N/(10^k -1) где k-длинна его периода N cам этот период без нулей в начале,если таковые присутствуют.(Надеюсь понятно)
Положим теперь что наша дробь смешанная ,тогда верно что
n/2n^2+1=N/10^s +M