Question

Постройте график функции у={-x’2+10х-21, если х>3, {—x+5, если х<3, и определите, при каких значениях m прямая у-m имеет с графиком ровно две общие точки

Answer 1

Для начала, построим графики обоих функций отдельно и затем найдем их общую часть.

1. Функция у = -x^2 + 10x - 21, если х > 3:
Для этого запишем уравнение функции в виде у = f(x) = -x^2 + 10x - 21 и построим ее график.

Для нахождения вершины параболы воспользуемся формулой: х_вершины = -b/2a = -10/(-2) = 5.
Подставим полученное значение в уравнение функции и найдем у_вершины: у_вершины = f(5) = -(5)^2 + 10(5) - 21 = -25 + 50 - 21 = 4.
Таким образом, вершина параболы находится в точке (5, 4).

Далее, найдем пересечение параболы с осью ординат. Для этого приравниваем х к 0: -x^2 + 10x - 21 = 0.
Решим полученное квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:
Дискриминант D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4(-1)(-21) = 100 - 84 = 16.
Корни уравнения равны: x1 = (-10 + √16)/(-2) = (-10 + 4)/(-2) = -6/-2 = 3 и x2 = (-10 - √16)/(-2) = (-10 - 4)/(-2) = -14/-2 = 7.
Таким образом, когда x < 3, у = -x + 5 имеет точку пересечения с графиком параболы при х = 3.

Построим график этой функции:

*
*
*
* *
*
*
*__*__*__*__*__*__*__*__*

2. Функция у = -x + 5, если х < 3:
Для этого запишем уравнение функции в виде у = g(x) = -x + 5 и построим ее график.

График линейной функции у = -x + 5 будет прямой линией, проходящей через точку (0, 5) и с отрицательным угловым коэффициентом -1.

Построим график этой функции:

*
*
*
*
*
*
*__*__*__*__*__*__*__*__*

Итак, имеем два графика функций у = -x^2 + 10x - 21, если х > 3, и у = -x + 5, если х < 3. Теперь нужно найти общую часть этих двух графиков, то есть точки их пересечения.

Заметим, что при х < 3 функция у = -x + 5 пересекает ось абсцисс в точке с координатами (3, 0). То есть, у = -x + 5 = 0 при х = 3.

Таким образом, пересекаясь с графиком функции у = -x^2 + 10x - 21, прямая у - m будет иметь две общие точки, когда она будет проходить через промежуток между графиком функции у = -x^2 + 10x - 21 и осью ординат (поскольку нужно, чтобы у = -x + 5 = 0 имело одно и только одно решение).

Исследуем это на примере конкретного значения m = 4. Для этого решим систему уравнений: -x^2 + 10x - 21 = -x + 4. Подставим у = -x + 4 в уравнение параболы:
-x^2 + 10x - 21 = -x + 4.
Приведем все слагаемые в левой части уравнения и выразим все в нем через х:
-x^2 + 11x - 25 = 0.
Это квадратное уравнение имеет два корня: х_1 ≈ 0.59 и х_2 ≈ 10.41.

Таким образом, при m = 4 прямая у = 4 пересекает график функции у = -x^2 + 10x - 21 ровно в двух точках. На графике это будет выглядеть как две точки пересечения прямой и параболы.

В общем виде решение у = -x + m будет содержать корень уравнения -x^2 + 10x - 21 = -x + m.

Таким образом, чтобы прямая у - m имела с графиком ровно две общие точки, необходимо, чтобы значение m принадлежало отрезку (0.59, 10.41).

Надеюсь, это понятно и помогло вам! Если есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.