Question

На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 1/2300. Найти вероятность того, что среди 2300 соединений имеет место:
а) точно 2 неправильных соединений;
б) меньше, чем 6 неправильных соединений;
в) больше, чем 6 неправильных соединений.

D = 2300
S = 1
p = 1/2300
n = 2300
L = 6
G = 2
М = 6

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Испытания Бернулли: пусть есть n независимых испытаний, вероятность успеха в каждом из них равна p, вероятность неудачи q = 1 - p. Тогда вероятность того, что будет ровно k успехов равна C(n, k) p^k q^(n - k), где C(n, k) - биномиальный коэффициент C(n, k) = n! / (k! (n - k)!)

В обоих случаях будем искать вероятность того, что описанное в условии не произойдет - так проще.

а) Противоположное событие: произвошло меньше 4 неправильных соединений (т.е. 0, 1, 2 или 3).

P(не было неудачных) = (1 - 0,02)^150 = 0.98^150 =  0.0483

P(одно неудачное) = 150 * (1 - 0,02)^149 * 0.02 = 0.1478

P(два неудачных) = 150 * 149 / 2 * (1 - 0,02)^148 * 0.02^2 = 0.2248

P(3) = 150 * 149 * 148 / 6 * (1 - 0.02)^147 * 0.02^3 = 0.2263

P(<4) = 0.0483 + 0.1478 + 0.2248 + 0.2263 = 0.647

P(>=4) = 1 - 0.647 = 0.353

б) всё точно также, только не надо учитывать P(4).

P(<=2) = P(0) + P(1) + P(2) = 0.0483 + 0.1478 + 0.2248 = 0.421

P(>2) = 1 - 0.421 = 0.579

Можно сравнить точные результаты с приближенными. Тут можно вопрольззоваться теоремой Пуассона, P(k) = (np)^(-k) / k! * exp(-np).

Легко проверить, что в этом приближении P(<=2) = 0.423... (ошибка в третьем знаке после запятой), P(<=3) = 0.64723... (ошибка в пятом знаке)