Question

Найдите наибольшую точку экстремума функции y = 2x4 – 4х2
Найдите промежутки возрастания функции y = 2x5 – 5x4.

Answer 1

Добрый день! Рад принять роль учителя и помочь вам разобраться с этими математическими вопросами.

Для начала, давайте разберемся с первым вопросом о нахождении наибольшей точки экстремума функции y = 2x^4 – 4x^2.

1. Шаг: Найдем производную функции.
Для этого возьмем каждое слагаемое и возьмем его производную.

y' = d/dx (2x^4 – 4x^2)
= 8x^3 – 8x

2. Шаг: Найдем точки, где производная равна нулю.
Это можно сделать, приравнивая производную к нулю и решая уравнение.

8x^3 – 8x = 0

Разделим уравнение на 8x и получим:

x^2 – 1 = 0

Решим это уравнение:

x^2 = 1

x = ±1

Таким образом, у нас две точки, где производная равна нулю: x = 1 и x = -1.

3. Шаг: Определим тип экстремума в найденных точках.
Для этого необходимо проанализировать знаки производной в окрестности каждой точки.

Для x < -1, производная отрицательна (−8x^3 – 8x < 0).
Для -1 < x < 1, производная положительна (−8x^3 – 8x > 0).
Для x > 1, производная снова отрицательна (−8x^3 – 8x < 0).

Таким образом, у нас есть максимум функции в точке x = -1 и минимум функции в точке x = 1.

Теперь перейдем ко второму вопросу о промежутках возрастания функции y = 2x^5 – 5x^4.

1. Шаг: Найдем производную функции.
Как и в предыдущем случае, возьмем каждое слагаемое и найдем его производную.

y' = d/dx (2x^5 – 5x^4)
= 10x^4 – 20x^3

2. Шаг: Найдем точки, где производная равна нулю.
Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

10x^4 – 20x^3 = 0

Разделим уравнение на 10x^3 и получим:

x – 2 = 0

Решая это уравнение, получаем:

x = 2

Таким образом, у нас есть одна точка, где производная равна нулю: x = 2.

3. Шаг: Определим промежутки возрастания функции.
Для этого необходимо проанализировать знаки производной в окрестности этой точки.

Для x < 2, производная отрицательна (10x^4 – 20x^3 < 0).
Для x > 2, производная положительна (10x^4 – 20x^3 > 0).

Следовательно, функция возрастает на всем интервале x > 2.

Надеюсь, эта информация была полезной для вас. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать!