а1 + а2 + а3 + а4 + а5 + а6 = = (1 + 1 + 1 + 2 + 3) · а1 + (1 + 1 + 2 + 3 + 5) · а2 = = 8а1 + 12а2 = 4 · (2а1 + 3а2) = 4а5 = 4 · 7 = 28. Відповідь: 28. Завдання 34 Доведення (методом від супротивного). Припустимо, що у кожного школяра правий сусід не нижче від лівого. Тоді школярі на непарних місцях стоять у порядку неспадання, якщо рахувати зліва направо. Звідси випливає, що самий правий школяр не нижчий від самого лівого. Отримана суперечить з умовою задачі свідчить про хибність припущення. Завдання 35
Доведення. У результаті виконання вказаних дій через t хвилин можна отримати число 2хt · 3хt. Тут t — кількість хвилин від написання першого числа, х0 = 2, y0 = 1, бо 12 = 22 · 31. Для кожного невід'ємного цілого t справджується одне з двох висловлювань:
або хt + 1 = хt ± 1 i yt + 1 = yt; або хt + 1 = хt i yt + 1 = yt ± 1. Отже, парність суми хt + yt змінюється щохвилини. Вона змінюється через непарну кількість хвилин, а через парну кількість хвилин стає такою самою, якою була спочатку.
х0 + y0 = 2 + 1 = 3 — непарне число.
х60 + y60 також має бути непарним, тому не може дорівнювати 4 = 1 + 3.
Отже, через 60 хвилин на дошці буде записано число, відмінне від 54 = 21 · 33.
Тут удобно использовать метод анализа, который получил называние "backtracking" - обратное прослеживание.
Чтобы безусловно выиграть, нужно оставить противнику один карандаш. Следовательно, перед ходом противника должно быть столько карандашей, чтобы противник не смог оставить один карандаш вам. Это возможно, если карандашей будет пять. Тогда, взяв от одного до трех карандашей, противник оставит вам от четырех до двух карандашей и вы всегда сможете оставить ему только один. Получается, что для выигрыша нужно оставить противнику перед последним ходом один карандаш, перед предпоследним - пять. Разница - четыре карандаша. Отсюда видна стратегия игры. Нужно брать столько карандашей, чтобы противнику оставалось 1, 5, 9, 13, 17, 21 и т.д. карандашей. А) Если карандашей 8, мы берем 3 и оставляем 5. Б) Если карандашей 9, мы заведомо проиграем, поскольку до 5 у нас 4 карандаша (а больше 3 мы не можем взять), а до 9 - 0 (мы должны взять хотя бы 1 карандаш). В) Если на столе 10 карандашей, мы берем 1 и получаем выигрышное количество 9. Г) Если карандашей 15, мы берем 2 и получаем выигрышное количество 13.
Розв'язання. Позначимо через а1, а2, а3, а4, а5, а6 числа, про які сказано в умові задачі. Виразимо всі ці числа через а1 і а2:
а3 = а1 + а2;
а4 = а2 + а3 = а1 + 2а2;
а5 = а3 + а4 = 2а1 + 3а2;
а6 = а4 + а5 = 3а1 + 5а2.
Маємо:
а1 + а2 + а3 + а4 + а5 + а6 =
= (1 + 1 + 1 + 2 + 3) · а1 + (1 + 1 + 2 + 3 + 5) · а2 =
= 8а1 + 12а2 = 4 · (2а1 + 3а2) = 4а5 = 4 · 7 = 28.
Відповідь: 28.
Завдання 34
Доведення (методом від супротивного). Припустимо, що у кожного школяра правий сусід не нижче від лівого. Тоді школярі на непарних місцях стоять у порядку неспадання, якщо рахувати зліва направо. Звідси випливає, що самий правий школяр не нижчий від самого лівого. Отримана суперечить з умовою задачі свідчить про хибність припущення.
Завдання 35
Доведення. У результаті виконання вказаних дій через t хвилин можна отримати число 2хt · 3хt. Тут t — кількість хвилин від написання першого числа, х0 = 2, y0 = 1, бо 12 = 22 · 31. Для кожного невід'ємного цілого t справджується одне з двох висловлювань:
або хt + 1 = хt ± 1 i yt + 1 = yt;
або хt + 1 = хt i yt + 1 = yt ± 1.
Отже, парність суми хt + yt змінюється щохвилини. Вона змінюється через непарну кількість хвилин, а через парну кількість хвилин стає такою самою, якою була спочатку.
х0 + y0 = 2 + 1 = 3 — непарне число.
х60 + y60 також має бути непарним, тому не може дорівнювати 4 = 1 + 3.
Отже, через 60 хвилин на дошці буде записано число, відмінне від 54 = 21 · 33.