Чтобы решить эту задачу, нам необходимо найти точки экстремума функции y=3+24x-3x^2-x^3.
Шаг 1: Найдем производную функции y по переменной x.
Производная функции y будет равна: y' = 24 - 6x - 3x^2.
Шаг 2: Найдем точки, где производная равна нулю.
Для этого приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
24 - 6x - 3x^2 = 0.
Шаг 3: Решим уравнение, чтобы найти точки, где производная равна нулю.
Для того чтобы решить это квадратное уравнение, нам необходимо использовать квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0. Для этого уравнения a = -3, b = -6, и c = 24.
Используя формулу дискриминанта, найдем значения x:
D = b^2 - 4ac,
D = (-6)^2 - 4(-3)(24),
D = 36 + 288,
D = 324.
Так как дискриминант равен 324, у нас есть два корня:
Таким образом, мы получаем две точки экстремума: (-4, -77) и (2, 31).
Шаг 5: Определяем промежутки возрастания и убывания.
Для этого нам необходимо анализировать производную функции.
Так как производная y' равна 24 - 6x - 3x^2, мы замечаем, что у коэффициента при x^2 (т.е., -3) отрицательный знак.
Это означает, что производная функции уменьшается на всей числовой оси x от минус бесконечности до минимального значения x_1, затем возрастает от минимального значения x_1 до максимального значения x_2, и снова убывает на всей числовой оси x от максимального значения x_2 до плюс бесконечности.
Таким образом, промежутки возрастания функции y=3+24x-3x^2-x^3: (-∞,-4) и (2,∞), а промежутки убывания: (-4,2).
Итого, мы нашли промежутки возрастания и убывания для данной функции y=3+24x-3x^2-x^3: (-∞,-4) и (2,∞) - возрастание, (-4,2) - убывание.
Шаг 1: Найдем производную функции y по переменной x.
Производная функции y будет равна: y' = 24 - 6x - 3x^2.
Шаг 2: Найдем точки, где производная равна нулю.
Для этого приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
24 - 6x - 3x^2 = 0.
Шаг 3: Решим уравнение, чтобы найти точки, где производная равна нулю.
Для того чтобы решить это квадратное уравнение, нам необходимо использовать квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0. Для этого уравнения a = -3, b = -6, и c = 24.
Используя формулу дискриминанта, найдем значения x:
D = b^2 - 4ac,
D = (-6)^2 - 4(-3)(24),
D = 36 + 288,
D = 324.
Так как дискриминант равен 324, у нас есть два корня:
x_1 = (-b + sqrt(D))/(2a) = (-(-6) + sqrt(324))/(2(-3)) = (6 + 18)/( -6) = 24/-6 = -4,
x_2 = (-b - sqrt(D))/(2a) = (-(-6) - sqrt(324))/(2(-3)) = (6 - 18)/( -6) = -12/-6 = 2.
Шаг 4: Найдем значения y при каждом из найденных значений x.
y_1 = 3+24(-4)-3(-4)^2-(-4)^3 = 3 - 96 - 48 + 64 = -77,
y_2 = 3+24(2)-3(2)^2-(2)^3 = 3 + 48 - 12 - 8 = 31.
Таким образом, мы получаем две точки экстремума: (-4, -77) и (2, 31).
Шаг 5: Определяем промежутки возрастания и убывания.
Для этого нам необходимо анализировать производную функции.
Так как производная y' равна 24 - 6x - 3x^2, мы замечаем, что у коэффициента при x^2 (т.е., -3) отрицательный знак.
Это означает, что производная функции уменьшается на всей числовой оси x от минус бесконечности до минимального значения x_1, затем возрастает от минимального значения x_1 до максимального значения x_2, и снова убывает на всей числовой оси x от максимального значения x_2 до плюс бесконечности.
Таким образом, промежутки возрастания функции y=3+24x-3x^2-x^3: (-∞,-4) и (2,∞), а промежутки убывания: (-4,2).
Итого, мы нашли промежутки возрастания и убывания для данной функции y=3+24x-3x^2-x^3: (-∞,-4) и (2,∞) - возрастание, (-4,2) - убывание.