Question

Найдите наибольшее значение функции y=2*23/27 +(X-2)^2+(X-2)^3 на отрезке [1;2}

Answer 1

Добрый день! Давайте решим вашу задачу.

Итак, у нас есть функция y = 2 * 23/27 + (x - 2)^2 + (x - 2)^3, и мы должны найти наибольшее значение этой функции на отрезке [1;2].

Для начала, давайте найдем значение функции на концах отрезка [1;2]. Подставим x = 1:
y = 2 * 23/27 + (1 - 2)^2 + (1 - 2)^3
y = 46/27 + (-1)^2 + (-1)^3
y = 46/27 + 1 + (-1)
y = 46/27
Теперь подставим x = 2:
y = 2 * 23/27 + (2 - 2)^2 + (2 - 2)^3
y = 23/27 + 0 + 0
y = 23/27

Таким образом, мы нашли значения функции на концах отрезка: y(1) = 46/27 и y(2) = 23/27.

Теперь нам нужно найти максимальное значение функции на отрезке [1;2]. Для этого мы можем использовать метод дифференциального исчисления. Для начала, найдем производную функции y по переменной x:
y' = 0 + 2 * (x - 2)^1 + 3 * (x - 2)^2
y' = 2 * (x - 2) + 3 * (x - 2)^2

Для нахождения экстремумов функции, приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
2 * (x - 2) + 3 * (x - 2)^2 = 0

Раскроем квадрат и приведем уравнение к более удобному виду:
2x - 4 + 3(x^2 - 4x + 4) = 0
2x - 4 + 3x^2 - 12x + 12 = 0
3x^2 - 10x + 8 = 0

Данное уравнение является квадратным, поэтому мы можем использовать формулу дискриминанта, чтобы найти его корни:
D = (-10)^2 - 4 * 3 * 8
D = 100 - 96
D = 4

Таким образом, у нас есть два корня:
x1 = (-(-10) + sqrt(4)) / (2 * 3)
x1 = (10 + 2) / 6
x1 = 12 /6
x1 = 2

x2 = (-(-10) - sqrt(4)) / (2 * 3)
x2 = (10 - 2) / 6
x2 = 8 /6
x2 = 4 / 3

Теперь нужно проверить, на каком из найденных значений функция достигает максимума. Для этого можно построить график функции и посмотреть его поведение на отрезке [1;2].

Однако, чтобы ответ был понятным для школьников, воспользуемся другим методом - распределением знаков производной на интервалах. Для этого можем построить таблицу знаков исходной функции, значения производной на интервалах и сделать выводы о поведении функции на отрезке [1;2].

Интервал | Знак производной y' | Поведение функции
-----------------------------------------------------------
(-∞; 1) | Отрицательный | Убывает
-----------------------------------------------------------
(1; 2) | Положительный | Возрастает
-----------------------------------------------------------
(2; +∞) | Положительный | Возрастает
-----------------------------------------------------------

Из данной таблицы знаков можно сделать вывод, что функция y возрастает на интервале (1;2]. То есть, значение функции увеличивается по мере изменения аргумента внутри этого интервала.

Таким образом, максимальное значение функции на отрезке [1;2] достигается в точке x = 2.

Итак, наибольшее значение функции y = 2 * 23/27 + (x - 2)^2 + (x - 2)^3 на отрезке [1;2] равно: y = 23/27.

Надеюсь, данный ответ будет понятен и полезен для вас! Если у вас остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!