1) 48 = 2*2*2*2*3 и 84=2*2*3*7 и НОД(48,84)= 2*2*3 = 12 2) 70=2*5*7 и 98=2*7*7 и НОД(70,98)=2*7=14 3) 16 = 2*2*2*2 и 45=3*3*5 и НОД(16,45)=1- делителей нет. 4) 52= 2*2*13 и 78= 2*3*13 и НОД(52,78)=2*13 = 26 5) 44= 2*2*11 и 65=5*13 и НОД(44,65)=1 - делителей нет 6) 72=2*2*2*3*3 и 96=2*2*2*2*2*3 и НОД(72,96)=2*2*2*3 = 24 7) 78=2*3*13 и 117=3*3*13 и 195=3*5*13 и НОД(78,117,195)=39 8) 110=2*5*11 и 154=2*7*11 и 286=2*11*13 и НОД(110,154,286)=22 9) 90=2*3*3*5 и 126=2*3*3*7 и 162=2*3*3*3*3 и НОД(90,126,162)=18.
Расставим все действия робота по порядку начиная от пищит: 1 пищит 2 кивает 3 моргает 4 топает 5 хлопает 6 трещит 7 пищит и так, робот каждую минуту меняет по порядку 6 действий: пищит, кивает, моргает, топает, хлопает, трещит и потом снова пищит и т.д.
т.о. в наш цикл входит 6 операций по 1 минуте каждая, итого 6 минут кроме самого первого цикла, т.к. до первой операции "пищит" минута не идет. Т.е. первый цикл занимает 6-1 минут
Разделим 40 на 6, получим 6 полных циклов и 4 минуты в остатке к 4 прибавим 1 минуту, которой нет в первом цикле - итого 5 лишних минут
x^2+y^2>=2xy (неравенство Коши - между среднем арифмитическим и средним геометрическим или из (x-y)^2>=, x^2-2xy+y^2>=0, x^2+y^2>=2xy )
y^2+z^2>=2xz
x^2+z^2>=2xz
сложив
2(x^2+y^2+z^2)>=2*(xy+yx+zx)
сократив на 2
x^2+y^2+x^2>=xy+yx+zx (*)
по формуле квадарата тричлена, и исполльзуя неравенство (*)
(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+zy+zx)>=xy+xz+xz+2(xy+zx+xz)=3(xy+yz+zx)
подставляя данное условие
1^2>=3(xy+yz+zx) или
1>=3(xy+zx+zy)
или xy+yz+zx≤1/3. что и требовалось доказать