Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке y=(x+6)/x^2+13 ; [-5;5]​

Answer 1

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке, нам необходимо:

1. Найти критические точки функции на этом отрезке. Критические точки - это точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.

2. Проверить значения функции в критических точках и на концах отрезка.

Шаг 1: Найдем производную функции y=(x+6)/x^2+13. Для этого применим правило дифференцирования для частного функций:

y' = (x^2+13) * (1) - (x+6) * (2x) / (x^2)^2

y' = x^2 + 13 - 2x(x+6) / x^4

y' = x^2 + 13 - 2x^2 - 12x / x^4

y' = -x^2 - 12x + 13 / x^4

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю. Для этого приравняем выражение -x^2 - 12x + 13 к нулю и решим полученное квадратное уравнение:

-x^2 - 12x + 13 = 0

Данное уравнение не имеет рациональных корней, поэтому придется использовать формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac, где a = -1, b = -12, c = 13.

D = (-12)^2 - 4(-1)(13) = 144 + 52 = 196

Так как дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня:

x1 = (-b + √D) / 2a = (12 + √196) / (-2) = (12 + 14) / (-2) = 26 / (-2) = -13

x2 = (-b - √D) / 2a = (12 - √196) / (-2) = (12 - 14) / (-2) = -2 / (-2) = 1

Получаем две критические точки: x = -13 и x = 1.

Шаг 2: Теперь найдем значения функции в этих критических точках и на концах отрезка [-5; 5].

y(-13) = (-13+6) / (-13)^2 + 13 = (-7) / 169 + 13 = -0.04191 + 13 = 12.958

y(1) = (1+6) / (1)^2 + 13 = 7 / 1 + 13 = 20 + 13 = 33

y(-5) = (-5+6) / (-5)^2 + 13 = 1 / 25 + 13 = 0.04 + 13 = 13.04

y(5) = (5+6) / (5)^2 + 13 = 11 / 25 + 13 = 0.44 + 13 = 13.44

Итак, мы найдем значения функции на концах отрезка и в критических точках: y(-13) = 12.958, y(1) = 33, y(-5) = 13.04 и y(5) = 13.44.

Ответ: Максимальное значение функции на отрезке [-5; 5] равно 33, а минимальное значение равно 12.958.