Пусть номер Незнайки записывается как abcdefg, где a,b,...,g — цифры от 1 до 9, не обязательно различные. Всего существует 7*6/2=21 двузначное число, которое можно получить из этого номера вычеркиванием пяти цифр.
Заметим, что существует ровно 6 чисел, в которых цифра a исходного числа стоит на первом месте — ab, ac, ad, ae, af, ag. Аналогично, существует 5 чисел, в которых цифра b исходного числа стоит на первом месте — bc, bd, be, bf, 4 числа, в которых цифра c стоит на первом месте, и так далее, 1 число ef, в котором цифра e стоит на первом месте.
Кроме того, существует ровно 6 чисел, в которых цифра g стоит на последнем месте (ag, bg, cg, dg, eg, fg), 5 чисел, в которых цифра f стоит на последнем месте (af, bf, cf, df, ef), и так далее, 1 число ab, в котором цифра b стоит на последнем месте.
Теперь рассмотрим сумму ab+ac+ad+...+ef из 21 двузначного числа, о которых шла речь выше. Эту сумму можно представить в виде (10a+b)+(10a+c)+(10a+d)+...+(10e+f) — если цифра стоит на первом месте, то её нужно умножить на 10. Поскольку мы уже знаем, сколько раз в этой сумме каждая цифра находится на первом и втором месте, мы можем записать сумму следующим образом: (10a+b)+(10a+c)+(10a+d)+...+(10e+f) = 60a+(50+1)b+(40+2)c+(30+3)d+(20+4)e+(10+5)f+6g=60a+51b+42c+33d+24e+15f+6g.
Заметим, что каждое слагаемое делится на 3, значит, и результат должен делиться на 3. Число 2009 на 3 не делится, следовательно, Незнайка ошибся.
Пусть трехзначное число будет 100a+10b+c. Здесь 1<=a<=9, 0<=b<=9, 0<=c<=9. Ну и пусть a > c. От этого суть решения не поменяется. По условию, a-c>=2. Теперь запишем это число в обратно порядке. Будет 100c+10b+a. Если c=0, то это уже будет двузначное число, но в условии не говорится, что двузначного числа получиться не может. Поэтому c может быть равным 0. Вычтем из большего числа меньшее. Если условились, что a>c, то первое число больше второго. Поэтому вычитаем из первого числа второе. (100a+10b+c) - (100c+10b+a)=99(a-c). Обозначим a-c=k. При этом k>=2 и k<=9 (взяли граничные значения a=9, c=0). Очевидно, что числа вида 99k, где 2<=k<=9, являются трехзначными числами вида 100*(k-1)+9*10+(10-k). Цифры этого числа запишем в обратном порядке: 100*(10-k)+9*10+(k-1). Сложим два числа: (100*(k-1)+9*10+(10-k))+(100*(10-k)+9*10+(k-1)) = 101*(k-1)+101*(10-k)+9*10*2=101*(k-1+10-k)+180=101*9+180=1089, что и требовалось доказать.
Заметим, что существует ровно 6 чисел, в которых цифра a исходного числа стоит на первом месте — ab, ac, ad, ae, af, ag. Аналогично, существует 5 чисел, в которых цифра b исходного числа стоит на первом месте — bc, bd, be, bf, 4 числа, в которых цифра c стоит на первом месте, и так далее, 1 число ef, в котором цифра e стоит на первом месте.
Кроме того, существует ровно 6 чисел, в которых цифра g стоит на последнем месте (ag, bg, cg, dg, eg, fg), 5 чисел, в которых цифра f стоит на последнем месте (af, bf, cf, df, ef), и так далее, 1 число ab, в котором цифра b стоит на последнем месте.
Теперь рассмотрим сумму ab+ac+ad+...+ef из 21 двузначного числа, о которых шла речь выше. Эту сумму можно представить в виде (10a+b)+(10a+c)+(10a+d)+...+(10e+f) — если цифра стоит на первом месте, то её нужно умножить на 10. Поскольку мы уже знаем, сколько раз в этой сумме каждая цифра находится на первом и втором месте, мы можем записать сумму следующим образом: (10a+b)+(10a+c)+(10a+d)+...+(10e+f) = 60a+(50+1)b+(40+2)c+(30+3)d+(20+4)e+(10+5)f+6g=60a+51b+42c+33d+24e+15f+6g.
Заметим, что каждое слагаемое делится на 3, значит, и результат должен делиться на 3. Число 2009 на 3 не делится, следовательно, Незнайка ошибся.