Решите неравенство Log_(1 +1/(x+1)²) ( x²+3x +2)/(x²-3x+4) ≤ 0
ответ: x ∈ ( -∞ ; -2) ∪ (-1 ; 1/3] .
Пошаговое объяснение: x²-3x+4 =(x -3/2)² +7/4 > 0 || ≥7/4 ||
ОДЗ: { x²+3x +2 > 0 ; x+1 ≠0 . ⇔{ (x +2)(x+1) > 0 ; x ≠ - 1. ⇒
x ∈ ( - ∞ ; -2) ∪ (-1 ; ∞) .
1 +1/(x+1)² > 1 ;
Log_(1 +1/(x+1)²) ( x²+3x +2)/(x²-3x+4) ≤ 0 ⇔ 0 < ( x²+3x +2)/(x²-3x+4) ≤ 1 ⇔
0 < x²+3x +2 ≤ x²-3x+4 ⇔0 ⇔ { x²+3x +2>0 ; x²+3x +2 ≤ x²-3x+4.⇔
{ (x+2)(x+1)>0 ; x²+3x +2 ≤ x²-3x+4.⇔ { (x+2)(x+1)>0 ; x ≤ 1/3. ⇒
x ∈ ( -∞ ; -2) ∪ (-1 ; 1/3] .
х≠-1, все остальные х в основании подходят. основание больше единицы, поэтому при х≠-1
(х²+3х+2)/(х²-3х+4)>0
(х²+3х+2)/(х²+3х+2)≤1
Решаем первое неравенство. оно строгое. По Виету корни числителя -1 и -2; и дискриминант знаменателя меньше нуля, старший коэффициент положителен, D= 9-16 отрицат., значит, знаменатель положителен всегда.
тогда ОДЗ
___-2-1 х∈(-∞;-2)∪(-1;+∞)
+ - +
второе неравенство (х²+3х+2)/(х²-3х+4)≤1;
(х²+3х+2)/(х²-3х+4)-1≤0;после приведения к общему знаменателю сократим уравнение на положительную величину (х²-3х+4),
х²+3х+2-(х²-3х+4)≤0; 3х+2+3х-4≤0⇒6х≤2; х≤1/3
С учетом ОДЗ х∈(-∞;-2)∪ (-1;1/3]