Question

Найдите значение функции y=-x^3+x^2+x+6 в точке максимума.

Answer 1

Чтобы найти значение функции в точке максимума, нам необходимо найти это значение, зная координаты точки максимума.

Для начала, нам нужно найти производные функции и приравнять их к нулю, чтобы найти точки экстремума.

Производная функции y=-x^3+x^2+x+6 равна:
y' = -3x^2 + 2x + 1

Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
-3x^2 + 2x + 1 = 0

Для решения этого квадратного уравнения, мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:
D = b^2 - 4ac

В уравнении -3x^2 + 2x + 1 = 0:
a = -3, b = 2, c = 1

D = (2)^2 - 4(-3)(1) = 4 + 12 = 16

Дискриминант равен 16. Теперь мы можем использовать его значение, чтобы найти значения x, которые являются корнями этого уравнения.

x = (-b ± √D) / 2a

x1 = (-2 + √16) / 2(-3) = (-2 + 4) / (-6) = 2 / (-6) = -1/3
x2 = (-2 - √16) / 2(-3) = (-2 - 4) / (-6) = -6 / (-6) = 1

Таким образом, точки экстремума функции находятся при x = -1/3 и x = 1.

Для нахождения значения функции в точке максимума, нам нужно подставить одну из этих точек в исходную функцию y=-x^3+x^2+x+6.

Подставим x = -1/3:
y = -(-1/3)^3 + (-1/3)^2 + (-1/3) + 6
y = 1/27 + 1/9 - 1/3 + 6
y = 1/27 + 3/27 - 9/27 + 162/27
y = 157/27

Значение функции в точке максимума x = -1/3 равно 157/27.

Таким образом, значение функции в точке максимума составляет 157/27.