1) Для определения косинуса угла А находим векторы АВ и АС.
АВ = (4-0; -1-5; 3-1) = (4; -6; 2), модуль равен √(16 + 36 + 4) = √56 = 2√14.
АС = С (-2,1, -1) - А (0,5,1) = (-2; -4; -2). |AC| = √(4 + 16 + 4) = √24 = 2√6.
cos A = (4*(-2) + (-6)*(-4) + 2+(-2)/((2√14)*(2√6)) = 12/4√84 = 3/(2√21).
A = arc cos(3/2√21) = 1,2373 радиан или 70,8934 градуса.
2) Находим основание медианы из вершины А как середину стороны ВС: М =( В (4, -1,3) + С (-2,1, -1))/2 = (1; 0; 1).
Вектор АМ = (1; -5; 0), модуль (длина) = √(1+25+0) = √26 ≈ 5,09902.
Уравнение АМ: (x/1) = (y - 5)/(-5) = (z - 1)/0.
3) Длины АВ 7,483314774
сторон ВС 7,483314774
АС 4,898979486
Периметр P 19,86560903.
ответ: a ∈ (-∞; 0)∪{81}
Пошаговое объяснение: ОДЗ: x ≥ 0
С учетом ОДЗ уравнение всегда имеет как минимум один корень - решение уравнения √x - 9 = 0 ⇔ √х = 9 ⇒ x = 81.
Однако при некоторых значениях а уравнение может иметь и другой корень - решение уравнения х - а = 0 ⇒ х = а. Это возможно в том случае, если этот корень удовлетворяет ОДЗ, т.е. есть х ≥ 0 ⇒ a ≥ 0. Но может случиться так, что корни совпадут (и в первой скобке, и во второй корнем будет х = 81), и в итоге у нас все так же будет одно решение.
Поэтому уравнение может иметь единственное решение только в двух случаях:
1) уравнения х - а = 0 и √x - 9 = 0 имеют одинаковое решение - х = 81. Этому случаю соответствует значение а = 81.
2) если уравнение х - а = 0 имеет решения, которые не удовлетворяют ОДЗ, т.е. такие, при которых x выходит < 0 (в этом случае уравнение не будет иметь смысла из за того, что под корнем будет отрицательное число). Этому случаю соответсвуют все значения а < 0.
Итого: a ∈ (-∞; 0)∪{81}.