Question

Найти частное решение уравнения:
y'√(1-x^2)=x, если y=0 при х=1

Answer 1

Для нахождения частного решения уравнения, мы можем использовать метод разделения переменных.

Начнем с исходного уравнения:

y'√(1-x^2) = x

Давайте разделим обе части уравнения, чтобы отделить переменные:

dy/√(1-x^2) = x dx

Теперь проинтегрируем обе части уравнения. Запишем левую часть как интеграл от dy, а правую - как интеграл от x dx:

∫(dy/√(1-x^2)) = ∫x dx

Для интегрирования левой части воспользуемся заменой переменных:

Заметим, что √(1-x^2) - это производная арксинуса sin^(-1)(x). Поэтому можем выполнить замену sin^(-1)(x) = t.

Заменим √(1-x^2) на dt/dx:

dy/dt * dt/dx = x

dy/dt = x * dt/dx

Теперь выразим dy через dt, умножив обе части уравнения на dt:

dy = x * dt

Теперь проинтегрируем обе части уравнения по переменной t:

∫dy = ∫x dt

Интегрируя, получим:

y = ∫x dt

Теперь проинтегрируем правую часть уравнения по переменной t:

y = ∫x dt = (∫t dt) - (∫1 dt)

y = (1/2)t^2 - t + C

Где C - это постоянная интегрирования.

Теперь вернемся к исходным переменным x и y. Чтобы найти значение С, используем начальное условие, которое у нас есть: y=0 при x=1. Подставим эти значения в уравнение:

0 = (1/2)(sin^(-1)(1))^2 - sin^(-1)(1) + C

sin^(-1)(1) равен Pi/2, и мы получаем:

0 = (1/2)(Pi/2)^2 - Pi/2 + C

0 = (Pi^2)/8 - Pi/2 + C

C = Pi/2 - (Pi^2)/8

Таким образом, частное решение уравнения y'√(1-x^2)=x, при условии y=0 при х=1, будет выглядеть следующим образом:

y = (1/2)t^2 - t + (Pi/2 - (Pi^2)/8)

где t = sin^(-1)(x).