Question

Докажите неравенство 4^n>3n+2

Answer 1

Для начала, давайте рассмотрим, что включает в себя доказательство неравенства. Обычно, когда нам нужно доказать неравенство, мы должны преобразовать его таким образом, чтобы получить неравенство с более простым видом. Затем мы применяем логические или арифметические операции для получения доказательства.

Приступим к доказательству неравенства 4^n > 3n + 2. Мы можем выполнить последовательные преобразования для достижения этой цели.

1. Начнем с преобразования правой части неравенства. У нас есть 3n + 2.

2. Заменим 2 на 1 + 1, чтобы получить 3n + 1 + 1.

3. Разделим 3n + 1 на 2, чтобы получить (3n + 1) / 2 + 1.

Итак, после преобразований, неравенство примет вид 4^n > (3n + 1) / 2 + 1.

Теперь мы можем переформулировать это неравенство с помощью математической индукции.

Шаг 1: Проверим базу индукции. Если n = 1, то 4^1 = 4 и (3 * 1 + 1) / 2 + 1 = 2. Таким образом, первый шаг верен.

Шаг 2: Предположим, что неравенство выполняется для n = k, то есть 4^k > (3k + 1) / 2 + 1.

Шаг 3: Теперь докажем, что неравенство верно для n = k + 1.

4^(k+1) = 4 * 4^k (используем свойство степеней)
> 4 * ((3k + 1) / 2 + 1) (по предположению индукции)
= (6k + 2) / 2 + 4 (выполняем умножение)
= 3k + 1 + 2 + 4 (приводим к общему знаменателю и складываем)
= 3k + 7.

Таким образом, мы доказали, что неравенство выполняется для n = k + 1.

Итак, по принципу математической индукции, неравенство 4^n > (3n + 1) / 2 + 1 верно для всех положительных целых чисел n.